OMA - A expansão decimal de
tem um período muito grande. Determine os três últimos algarismos do período.
Passo 1
O que a questão pede é extrair os três últimos dígitos do período da expansão decimal de
. O período dessa dízima corresponde ao menor
tal que
ou seja, ao período de repetição dos restos na divisão de
por
. Para achar os dígitos finais, vamos usar a relação entre resto e algarismo: se
é o resto após gerar
dígitos, então
Passo 2
Determinar o comprimento do período equivale a achar a ordem multiplicativa de
em
. Como
é primo, a ordem divide
. Calculamos
logo
e não há expoente menor que
que dê
. Portanto o período é
.
Passo 3
Chamando
, temos
e
. Para achar os restos perto de
, observe que
e que o inverso de
módulo
vale
, pois
Assim para qualquer
,
Passo 4
Precisamos de
. Usando a fórmula anterior:
Calculando:
Logo
Passo 5
Agora cada algarismo do período é
Logo os três últimos dígitos são
Resposta
Os três últimos algarismos do período são 567.