OMA - A expansão decimal de 197 tem um período muito grande. Determine os três últimos algarismos do período.

Passo 1

O que a questão pede é extrair os três últimos dígitos do período da expansão decimal de tfrac197. O período dessa dízima corresponde ao menor L>0 tal que
10^L equiv 1 pmod97,
ou seja, ao período de repetição dos restos na divisão de 1 por 97. Para achar os dígitos finais, vamos usar a relação entre resto e algarismo: se rn-1 é o resto após gerar n-1 dígitos, então
dn = lfloortfrac10,rn-197rfloor, rn equiv 10,rn-1pmod97

Passo 2

Determinar o comprimento do período equivale a achar a ordem multiplicativa de 10 em Z97^*. Como 97 é primo, a ordem divide 96. Calculamos
10^48equiv (10^16)^3 equiv 62^3 equiv 96 equiv -1 pmod97,
logo
10^96 equiv (10^48)^2 equiv (-1)^2 equiv 1pmod97
e não há expoente menor que 48 que dê 1. Portanto o período é L=96.

Passo 3

Chamando rnequiv 10^npmod97, temos r0=1 e rn=10,rn-1bmod97. Para achar os restos perto de n=96, observe que
r96=10^96equiv1,
e que o inverso de 10 módulo 97 vale 68, pois
10cdot68=680equiv1pmod97
Assim para qualquer k,
10^96-k equiv r96cdot(10^-1)^k equiv 1cdot68^kpmod97

Passo 4

Precisamos de r93,r94,r95. Usando a fórmula anterior:
r93equiv68^3pmod97, r94equiv68^2pmod97, r95equiv68pmod97
Calculando:
68^2=4624equiv65pmod97, 68^3equiv65cdot68=4420equiv55pmod97
Logo
r93=55, r94=65, r95=68

Passo 5

Agora cada algarismo do período é
dn=lfloortfrac10,rn-197rfloor
Logo os três últimos dígitos são
d94=lfloor10cdot r9397rfloor =lfloor55097rfloor=5,
d95=lfloor10cdot r9497rfloor =lfloor65097rfloor=6,
d96=lfloor10cdot r9597rfloor =lfloor68097rfloor=7

Resposta

Os três últimos algarismos do período são 567.

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