3.3.4 Um outro conjunto de rotações de Euler de uso comum é
(1) uma rotação ao redor do eixo por meio de um ângulo , em sentido anti-horário,
(2) uma rotação ao redor do eixo por meio de um ângulo , em sentido anti-horário,
(3) uma rotação ao redor do eixo por meio de um ângulo , em sentido anti-horário.
mostre que os sistemas finais são idênticos.
Passo 1
O enunciado compara duas maneiras de atingir a mesma orientação final usando sequências de rotações de Euler. A primeira sequência aplica, na ordem,
uma rotação em torno de de ângulo ,
depois em torno de de ângulo ,
e finalmente em torno de de ângulo .
Isso equivale à matriz de rotação
A segunda sequência é
rotação em torno de de ângulo ,
depois em torno de de ângulo ,
e finalmente em torno de de ângulo ,
ou seja
Queremos mostrar que, se
então e, portanto, ambas as sequências levam ao mesmo sistema final de eixos.
Passo 2
Escrevemos explicitamente as matrizes elementares. Para rotações positivas no sentido anti-horário, em cada eixo:
Agora substituímos cosl(Apmtfracpi2r) =mpsin A, sinl(Apmtfracpi2r) =pmcos A , cospsi,cosvarphi-sinpsi,costheta,sinvarphi long<=ftrightarrow cos(psi+tfracpi2),costheta =l(-sinpsir)costheta e
e usamos as identidades trigonométricas
Se você comparar, elemento a elemento, as matrizes de e de após esta substituição, verá que todos os componentes coincidem. Por exemplo, no elemento de cada matriz surge
e, após expandir e usar vindos das outras rotações, tudo bate exatamente. O mesmo vale para todos os demais elementos.
Passo 5
Como as duas matrizes finais coincidem, as duas sequências de rotações levam ao mesmo sistema de eixos finais.
Resposta
Usando R3(psi),R1(theta),R3(varphi) ;=; R3(gamma),R2(beta),R1(alpha), , e ,
temos
logo os sistemas finais são idênticos.
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 3.3 - Ex. 3.3.4