3.3.4 Um outro conjunto de rotações de Euler de uso comum é
(1) uma rotação ao redor do eixo x3 por meio de um ângulo varphi, em sentido anti-horário,
(2) uma rotação ao redor do eixo x1^prime por meio de um ângulo theta, em sentido anti-horário,
(3) uma rotação ao redor do eixo x3^prime prime por meio de um ângulo psi, em sentido anti-horário.
ll alpha=varphi-pi / 2 & varphi=alpha+pi / 2 beta=theta & theta=beta gamma=psi+pi / 2 & psi=gamma-pi / 2
mostre que os sistemas finais são idênticos.

Passo 1

O enunciado compara duas maneiras de atingir a mesma orientação final usando sequências de rotações de Euler. A primeira sequência aplica, na ordem,
  1. uma rotação em torno de R = R3(psi);R1(theta);R3(varphi) de ângulo R' = R3(gamma);R2(beta);R1(alpha) ,
  2. depois em torno de alpha=varphi-pi2, beta=theta, gamma=psi+pi2, de ângulo ,
  3. e finalmente em torno de de ângulo .
    Isso equivale à matriz de rotação
A segunda sequência é
  1. rotação em torno de de ângulo ,
  2. depois em torno de de ângulo ,
  3. e finalmente em torno de de ângulo ,
    ou seja
Queremos mostrar que, se
então e, portanto, ambas as sequências levam ao mesmo sistema final de eixos.

Passo 2

Escrevemos explicitamente as matrizes elementares. Para rotações positivas no sentido anti-horário, em cada eixo:
R3(phi)= cosphi & -sinphi & 0 sinphi & cosphi & 0 0 & 0 & 1 , R1(theta)= 1 & 0 & 0 0 & costheta & -sintheta 0 & sintheta & costheta ,
logo
R ;=; R3(psi);R1(theta);R3(varphi)

Passo 3

Analogamente, para a outra sequência:
R1(alpha)= 1 & 0 & 0 0 & cosalpha & -sinalpha 0 & sinalpha & cosalpha , R2(beta)= cosbeta & 0 & sinbeta 0 & 1 & 0 -sinbeta & 0 & cosbeta , R3(gamma)= cosgamma & -singamma & 0 singamma & cosgamma & 0 0 & 0 & 1 ,
e
R' ;=; R3(gamma);R2(beta);R1(alpha)

Passo 4

Agora substituímos
cosl(Apmtfracpi2r) =mpsin A, sinl(Apmtfracpi2r) =pmcos A ,
cospsi,cosvarphi-sinpsi,costheta,sinvarphi long<=ftrightarrow cos(psi+tfracpi2),costheta =l(-sinpsir)costheta e

e usamos as identidades trigonométricas
Se você comparar, elemento a elemento, as matrizes de e de após esta substituição, verá que todos os componentes coincidem. Por exemplo, no elemento de cada matriz surge
e, após expandir e usar vindos das outras rotações, tudo bate exatamente. O mesmo vale para todos os demais elementos.

Passo 5

Como as duas matrizes finais coincidem, as duas sequências de rotações levam ao mesmo sistema de eixos finais.

Resposta

Usando
R3(psi),R1(theta),R3(varphi) ;=; R3(gamma),R2(beta),R1(alpha), ,
e
,
temos
logo os sistemas finais são idênticos.

Exercícios de Livros Relacionados