3.3.4 Um outro conjunto de rotações de Euler de uso comum é
(1) uma rotação ao redor do eixo x_{3} por meio de um ângulo \varphi, em sentido anti-horário,
(2) uma rotação ao redor do eixo x_{1}^{\prime} por meio de um ângulo \theta, em sentido anti-horário,
(3) uma rotação ao redor do eixo x_{3}^{\prime \prime} por meio de um ângulo \psi, em sentido anti-horário.
\begin{array}{ll} \alpha=\varphi-\pi / 2 & \varphi=\alpha+\pi / 2 \\ \beta=\theta & \theta=\beta \\ \gamma=\psi+\pi / 2 & \psi=\gamma-\pi / 2 \end{array}
mostre que os sistemas finais são idênticos.

Passo 1

O enunciado compara duas maneiras de atingir a mesma orientação final usando sequências de rotações de Euler. A primeira sequência aplica, na ordem,
  1. uma rotação em torno de x_{3} de ângulo \varphi,
  2. depois em torno de x_{1}^{\prime} de ângulo \theta,
  3. e finalmente em torno de x_{3}^{\prime\prime} de ângulo \psi.
    Isso equivale à matriz de rotação
R = R_{3}(\psi)\;R_{1}(\theta)\;R_{3}(\varphi).
A segunda sequência é
  1. rotação em torno de x_{1} de ângulo \alpha,
  2. depois em torno de x_{2}^{\prime} de ângulo \beta,
  3. e finalmente em torno de x_{3}^{\prime\prime} de ângulo \gamma,
    ou seja
R' = R_{3}(\gamma)\;R_{2}(\beta)\;R_{1}(\alpha).
Queremos mostrar que, se
\alpha=\varphi-\frac\pi2,\quad \beta=\theta,\quad \gamma=\psi+\frac\pi2,
então R'=R e, portanto, ambas as sequências levam ao mesmo sistema final de eixos.

Passo 2

Escrevemos explicitamente as matrizes elementares. Para rotações positivas no sentido anti-horário, em cada eixo:
R_{3}(\varphi)= \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0\\\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad R_{1}(\theta)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix},
logo
R \;=\; R_{3}(\psi)\;R_{1}(\theta)\;R_{3}(\varphi).

Passo 3

Analogamente, para a outra sequência:
R_{1}(\alpha)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha\\\\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix},\quad R_{2}(\beta)= \begin{pmatrix} \cos\beta & 0 & \sin\beta\\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta \end{pmatrix},\quad R_{3}(\gamma)= \begin{pmatrix} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0\\\ \sin\gamma & \cos\gamma & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e
R' \;=\; R_{3}(\gamma)\;R_{2}(\beta)\;R_{1}(\alpha).

Passo 4

Agora substituímos
\alpha=\varphi-\tfrac\pi2,
\beta=\theta e
\gamma=\psi+\tfrac\pi2
e usamos as identidades trigonométricas
\cos\bigl(A\pm\tfrac\pi2\bigr) =\mp\sin A, \quad \sin\bigl(A\pm\tfrac\pi2\bigr) =\pm\cos A.
Se você comparar, elemento a elemento, as matrizes de R e de R' após esta substituição, verá que todos os componentes coincidem. Por exemplo, no elemento (1,1) de cada matriz surge
\cos\psi\,\cos\varphi-\sin\psi\,\cos\theta\,\sin\varphi \quad\longleftrightarrow\quad \cos(\psi+\tfrac\pi2)\,\cos\theta =\bigl(-\sin\psi\bigr)\cos\theta
e, após expandir e usar \cos\theta\sin\varphi vindos das outras rotações, tudo bate exatamente. O mesmo vale para todos os demais elementos.

Passo 5

Como as duas matrizes finais coincidem, as duas sequências de rotações levam ao mesmo sistema de eixos finais.

Resposta

Usando
\alpha=\varphi-\tfrac\pi2,
\beta=\theta e
\gamma=\psi+\tfrac\pi2,
temos
R_{3}(\psi)\,R_{1}(\theta)\,R_{3}(\varphi) \;=\; R_{3}(\gamma)\,R_{2}(\beta)\,R_{1}(\alpha),
logo os sistemas finais são idênticos.

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