3.3.4 Um outro conjunto de rotações de Euler de uso comum é
(1) uma rotação ao redor do eixo x_{3} por meio de um ângulo \varphi, em sentido anti-horário,
(2) uma rotação ao redor do eixo x_{1}^{\prime} por meio de um ângulo \theta, em sentido anti-horário,
(3) uma rotação ao redor do eixo x_{3}^{\prime \prime} por meio de um ângulo \psi, em sentido anti-horário.
\begin{array}{ll}
\alpha=\varphi-\pi / 2 & \varphi=\alpha+\pi / 2 \\
\beta=\theta & \theta=\beta \\
\gamma=\psi+\pi / 2 & \psi=\gamma-\pi / 2
\end{array}
mostre que os sistemas finais são idênticos.
Passo 1
O enunciado compara duas maneiras de atingir a mesma orientação final usando sequências de rotações de Euler. A primeira sequência aplica, na ordem,
uma rotação em torno de x_{3} de ângulo \varphi,
depois em torno de x_{1}^{\prime} de ângulo \theta,
e finalmente em torno de x_{3}^{\prime\prime} de ângulo \psi.
Isso equivale à matriz de rotação
R = R_{3}(\psi)\;R_{1}(\theta)\;R_{3}(\varphi).
A segunda sequência é
rotação em torno de x_{1} de ângulo \alpha,
depois em torno de x_{2}^{\prime} de ângulo \beta,
e finalmente em torno de x_{3}^{\prime\prime} de ângulo \gamma,
ou seja
Agora substituímos \alpha=\varphi-\tfrac\pi2, \beta=\theta e \gamma=\psi+\tfrac\pi2
e usamos as identidades trigonométricas
\cos\bigl(A\pm\tfrac\pi2\bigr) =\mp\sin A, \quad \sin\bigl(A\pm\tfrac\pi2\bigr) =\pm\cos A.
Se você comparar, elemento a elemento, as matrizes de R e de R' após esta substituição, verá que todos os componentes coincidem. Por exemplo, no elemento (1,1) de cada matriz surge