Quais papéis as funções e^{x} e \ln x desempenham em comparações de crescimento?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o papel de \exp(x)=e^x e de \ln(x) ao compararmos taxas de crescimento de funções quando x\to+\infty. O conteúdo principal aqui é análise assintótica usando limites (por exemplo, critério de L’Hôpital) para ver quais funções crescem mais rápido ou mais devagar.
Passo 2
Mostramos que \ln(x) cresce mais devagar que qualquer potência de x. Para todo real \alpha>0, considere
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^{\alpha}}.
Aplicando L’Hôpital uma vez (pois numerador e denominador vão a +\infty), temos derivadas
Aqui “\ll” indica que a função da esquerda é o da da direita. Logo, \ln(x) fica no nível mais baixo de crescimento não limitado e e^x já ultrapassa qualquer polinômio, colocando-se como um exemplo padrão de crescimento exponencial.
Resposta
\ln(x) cresce mais lentamente do que qualquer potência de x (ou seja, \ln(x)=o(x^{\alpha}) para todo \alpha>0), enquanto e^x cresce mais rapidamente do que qualquer potência de x (ou seja, x^{\alpha}=o(e^x) para todo \alpha>0).
Cálculo - Thomas - Vol 1 - 11ª Edição - Capítulo 7.Questões de Revisão - Ex. 7