Quais papéis as funções e^{x} e \ln x desempenham em comparações de crescimento?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o papel de \exp(x)=e^x e de \ln(x) ao compararmos taxas de crescimento de funções quando x\to+\infty. O conteúdo principal aqui é análise assintótica usando limites (por exemplo, critério de L’Hôpital) para ver quais funções crescem mais rápido ou mais devagar.

Passo 2

Mostramos que \ln(x) cresce mais devagar que qualquer potência de x. Para todo real \alpha>0, considere
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^{\alpha}}.
Aplicando L’Hôpital uma vez (pois numerador e denominador vão a +\infty), temos derivadas
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac1x, \qquad \frac{d}{dx}x^{\alpha}=\alpha\,x^{\alpha-1},
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\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^{\alpha}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{\alpha\,x^{\alpha-1}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\alpha\,x^{\alpha}}=0.
Isso mostra que \ln(x)=o(x^{\alpha}), ou seja, \ln(x) é negligível frente a qualquer x^{\alpha}.

Passo 3

Mostramos que \exp(x) cresce mais rápido que qualquer potência de x. Para todo real \alpha>0, analise
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^x}.
Novamente aplicando L’Hôpital repetidamente (derivando numerador \alpha vezes até zerar e denominador sempre em e^x), obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^x}=0.
Em notação assintótica, x^{\alpha}=o(e^x). Ou seja, e^x domina qualquer x^{\alpha}.

Passo 4

Combinando os resultados, temos a hierarquia clássica de crescimento para x\to+\infty:
\underbrace{\ln(x)}_{\text{mais lento}}\ll \underbrace{x^{a}}_{\text{polinomial}}\ll \underbrace{e^x}_{\text{exponencial}}\ll \underbrace{x!}_{\text{fatorial}}\ll\dots
Aqui “ \ll” indica que a função da esquerda é o da da direita. Logo, \ln(x) fica no nível mais baixo de crescimento não limitado e e^x já ultrapassa qualquer polinômio, colocando-se como um exemplo padrão de crescimento exponencial.

Resposta

\ln(x) cresce mais lentamente do que qualquer potência de x (ou seja, \ln(x)=o(x^{\alpha}) para todo \alpha>0), enquanto e^x cresce mais rapidamente do que qualquer potência de x (ou seja, x^{\alpha}=o(e^x) para todo \alpha>0).

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