Que papel a derivada tem na definição de coeficientes angulares, tangentes e taxas de variação?

Passo 1

O enunciado nos pergunta qual é o papel da derivada na definição de coeficientes angulares, retas tangentes e taxas de variação. Para responder, vamos usar como base: a definição de derivada como limite de coeficientes angulares de retas secantes, sua interpretação geométrica como coeficiente angular da reta tangente em um ponto e a relação com a taxa de variação instantânea de uma grandeza.

Passo 2

Para definir o coeficiente angular da reta tangente em x=a, partimos da derivada de f nesse ponto:
f'(a) = \lim_{h\to0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
Esse limite é exatamente o coeficiente angular da reta que toca o gráfico de f em (a,f(a)). A equação dessa reta tangente fica
y - f(a) = f'(a)\,(x - a).

Passo 3

A derivada também traduz a taxa de variação instantânea de f em relação a x. Se a taxa média entre x_1 e x_2 é
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1},
ao levar x_2\to x_1 (isto é, h\to0) obtemos
f'(x_1) = \lim_{x_2\to x_1} \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1},
que é a taxa de variação instantânea de f em x_1. Em aplicações físicas e econômicas, por exemplo, isso representa velocidade momentânea, taxa de crescimento ou decaimento, etc.

Resposta

A derivada em um ponto é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função nesse ponto e, simultaneamente, a taxa de variação instantânea da função em relação à variável independente.

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