Que papel a derivada tem na definição de coeficientes angulares, tangentes e taxas de variação?
Passo 1
O enunciado nos pergunta qual é o papel da derivada na definição de coeficientes angulares, retas tangentes e taxas de variação. Para responder, vamos usar como base: a definição de derivada como limite de coeficientes angulares de retas secantes, sua interpretação geométrica como coeficiente angular da reta tangente em um ponto e a relação com a taxa de variação instantânea de uma grandeza.
Passo 2
Para definir o coeficiente angular da reta tangente em
, partimos da derivada de
nesse ponto:
Esse limite é exatamente o coeficiente angular da reta que toca o gráfico de
em
. A equação dessa reta tangente fica
Passo 3
A derivada também traduz a taxa de variação instantânea de
em relação a
. Se a taxa média entre
e
é
ao levar
(isto é,
) obtemos
que é a taxa de variação instantânea de
em
. Em aplicações físicas e econômicas, por exemplo, isso representa velocidade momentânea, taxa de crescimento ou decaimento, etc.
Resposta
A derivada em um ponto é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função nesse ponto e, simultaneamente, a taxa de variação instantânea da função em relação à variável independente.