4.6.5 Uma partícula carregada, carga q, massa m, obedece à equação covariante de Lorentz
em que p^nu é o vetor quadrimomento ), E / c ; p^1, p^2, p^3 é o tempo próprio, (d \tau=d t \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}, um escalar de Lorentz. Mostre que as formas espaço-temporais explícitas são

Passo 1

Temos uma partícula de carga p^mu=l(tfracEc,,p^1,,p^2,,p^3r), e massa dtau = dt,raiz1-v^2c^2, imersa num campo eletromagnético, cujo quadrimomento é
dp^mudtau=qc,F^munu,p^nu,
e o tempo próprio satisfaz
A equação covariante de Lorentz é
onde é o tensor do campo eletromagnético. Nosso objetivo é mostrar que, ao separar a componente temporal ( ) e as espaciais ( ), obtemos as fórmulas usuais da taxa de variação da energia e da força de Lorentz em 3-dimensões.

Passo 2

Escrevemos o tensor F^0i = E^ic, F^i0 = -E^ic, F^ij = -epsilon^ijk,Bk, em função dos campos elétrico u^mu = dx^mudtau = l(cgamma,;gamma v^1,;gamma v^2,;gamma v^3r), gamma=1raiz1-v^2/c^2 e magnético (unidades SI com fatores de ):
e recordamos que a 4-velocidade é

Passo 3

Componente temporal dp^0dtau = qc,F^0nu,p^nu = qc,F^0i,p^i = qc,E^ic,(gamma m v^i) = qgammac^2,E!cdot!v,m :
1c,dEdtau = qgamma,mc^2,E!cdot!v ;Longrightarrow; dEdtau = qgamma,mc,E!cdot!v
Mas dEdt = q,E!cdot!v , então
Convertendo para derivada em via

Passo 4

Componentes espaciais dp^idtau = qc,F^inu,p^nu = qcl(F^i0,p^0 + F^ij,p^jr) = qcl(-tfracE^ic,gamma m c -epsilon^ijkBk,gamma m v^jr) :
= -qgamma mc,E^i -qgamma mc,epsilon^ijkv^j Bk = qgamma ml(!E^i + (vtimesB)^ir)1c,
dp^idt = q,l(E^i + (vtimesB)^ir),
Como dpdt = ql(E + vtimesBr) , resulta
ou em vetor

Resposta

dEdt = q,E!cdot!v, dpdt = ql(E + vtimesBr)

Exercícios de Livros Relacionados