4.6.5 Uma partícula carregada, carga q, massa m, obedece à equação covariante de Lorentz
em que p^{\nu} é o vetor quadrimomento \(E / c ; p^{1}, p^{2}, p^{3}), \tau é o tempo próprio, d \tau=d t \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}\, um escalar de Lorentz. Mostre que as formas espaço-temporais explícitas sãoçíã

Passo 1

Temos uma partícula de carga q e massa m imersa num campo eletromagnético, cujo quadrimomento é
p^\mu=\bigl(\tfrac{E}{c},\,p^1,\,p^2,\,p^3\bigr),
e o tempo próprio satisfaz
d\tau = dt\,\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\,.
A equação covariante de Lorentz é
\frac{dp^\mu}{d\tau}=\frac{q}{c}\,F^{\mu}{}_{\nu}\,p^\nu,
onde F^{\mu\nu} é o tensor do campo eletromagnético. Nosso objetivo é mostrar que, ao separar a componente temporal ( \mu=0) e as espaciais ( \mu=i), obtemos as fórmulas usuais da taxa de variação da energia e da força de Lorentz em 3-dimensões.

Passo 2

Escrevemos o tensor F^{\mu\nu} em função dos campos elétrico \mathbf{E} e magnético \mathbf{B} (unidades SI com fatores de c):
F^{0i} = \frac{E^i}{c}, \quad F^{i0} = -\frac{E^i}{c}, \quad F^{ij} = -\epsilon^{ijk}\,B_k,
e recordamos que a 4-velocidade é
u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \bigl(c\gamma,\;\gamma v^1,\;\gamma v^2,\;\gamma v^3\bigr), \quad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.

Passo 3

Componente temporal \mu=0:
\frac{dp^0}{d\tau} = \frac{q}{c}\,F^{0}{}_{\nu}\,p^\nu = \frac{q}{c}\,F^{0i}\,p^i = \frac{q}{c}\,\frac{E^i}{c}\,(\gamma m v^i) = \frac{q\gamma}{c^2}\,\mathbf{E}\!\cdot\!\mathbf{v}\,m.
Mas p^0=E/c, então
\frac{1}{c}\,\frac{dE}{d\tau} = \frac{q\gamma\,m}{c^2}\,\mathbf{E}\!\cdot\!\mathbf{v} \;\Longrightarrow\; \frac{dE}{d\tau} = \frac{q\gamma\,m}{c}\,\mathbf{E}\!\cdot\!\mathbf{v}.
Convertendo para derivada em t via d/d\tau=\gamma\,d/dt
\frac{dE}{dt} = q\,\mathbf{E}\!\cdot\!\mathbf{v}.

Passo 4

Componentes espaciais \mu=i:
\frac{dp^i}{d\tau} = \frac{q}{c}\,F^{i}{}_{\nu}\,p^\nu = \frac{q}{c}\bigl(F^{i0}\,p^0 + F^{ij}\,p^j\bigr) = \frac{q}{c}\Bigl(-\tfrac{E^i}{c}\,\gamma m c -\epsilon^{ijk}B_k\,\gamma m v^j\Bigr)
= -\frac{q\gamma m}{c}\,E^i -\frac{q\gamma m}{c}\,\epsilon^{ijk}v^j B_k = q\gamma m\Bigl(\!E^i + (\mathbf{v}\times\mathbf{B})^i\Bigr)\frac{1}{c}\,.
Como dp^i/dt=(1/\gamma)\,dp^i/d\tau, resulta
\frac{dp^i}{dt} = q\,\Bigl(E^i + (\mathbf{v}\times\mathbf{B})^i\Bigr),
ou em vetor
\frac{d\mathbf{p}}{dt} = q\bigl(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr).

Resposta

\frac{dE}{dt} = q\,\mathbf{E}\!\cdot\!\mathbf{v}, \qquad \frac{d\mathbf{p}}{dt} = q\bigl(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr).

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