4.6.5 Uma partícula carregada, carga
, massa
, obedece à equação covariante de Lorentz
em que
é o vetor quadrimomento ),
é o tempo próprio, (d \tau=d t \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}, um escalar de Lorentz. Mostre que as formas espaço-temporais explícitas são
Passo 1
Temos uma partícula de carga
e massa
imersa num campo eletromagnético, cujo quadrimomento é
e o tempo próprio satisfaz
A equação covariante de Lorentz é
onde
é o tensor do campo eletromagnético. Nosso objetivo é mostrar que, ao separar a componente temporal (
) e as espaciais (
), obtemos as fórmulas usuais da taxa de variação da energia e da força de Lorentz em 3-dimensões.
Passo 2
Escrevemos o tensor
em função dos campos elétrico
e magnético
(unidades SI com fatores de
):
e recordamos que a 4-velocidade é
Passo 3
Componente temporal
:
Mas
, então
Convertendo para derivada em
via
dá
Passo 4
Componentes espaciais
:
Como
, resulta
ou em vetor