(a) Se um pêndulo for liberado a partir do repouso em \theta
=\theta_{0}), mostre que a velocidade angular é novamente 0 quando \theta=-\theta_{0}.
(b) O período T do pêndulo é a quantidade de tempo necessária para \theta variar de \theta_{0} para -\theta_{0} e retornar para \theta_{0}. Mostre que
T=\sqrt{\frac{2 L}{g}} \int_{-\theta_{0}}^{\theta_{0}} \frac{1}{\sqrt{\cos \theta-\cos \theta_{0}}} d \theta

Passo 1

O enunciado trata do pêndulo simples de massa m e comprimento L, liberado sem velocidade inicial em \theta=\theta_{0}. Queremos usar conservação de energia mecânica para (a) mostrar que a velocidade angular \dot\theta volta a zero em \theta=-\theta_{0} e (b) obter uma expressão integral para o período T.

Passo 2

A energia potencial do pêndulo é U(\theta)=mgL\bigl(1-\cos\theta\bigr) e a energia cinética é K=\tfrac12\,mL^{2}\dot\theta^{2}. Como a energia total se conserva e inicialmente \dot\theta=0 em \theta=\theta_{0}, temos
\tfrac12\,mL^{2}\dot\theta^{2}+mgL\bigl(1-\cos\theta\bigr) =mgL\bigl(1-\cos\theta_{0}\bigr).
Isolando \dot\theta^{2} na equação de conservação de energia,
\dot\theta^{2} =\frac{2g}{L}\,\bigl(\cos\theta-\cos\theta_{0}\bigr).

Passo 3

(a) Quando \theta=-\theta_{0} temos \cos(-\theta_{0})=\cos\theta_{0}. Então o lado direito da última equação vale zero, logo \dot\theta=0. Assim a velocidade angular zera em \theta=-\theta_{0}.
Para o período, escrevemos
dt=\frac{d\theta}{\dot\theta} =\sqrt{\frac{L}{2g}}\;\frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_{0}}}.

Passo 4

O tempo total T é o percurso de \theta_{0} até -\theta_{0} e volta a \theta_{0}. Como a integral de -\theta_{0} a \theta_{0} já cobre a ida e a volta simetricamente, obtemos
T =2\sqrt{\frac{L}{2g}}\int_{-\theta_{0}}^{\theta_{0}} \frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_{0}}} =\sqrt{\frac{2L}{g}}\int_{-\theta_{0}}^{\theta_{0}} \frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_{0}}}.

Resposta

(a) Ao \theta=-\theta_{0} tem-se \dot\theta=0.
(b) T=\sqrt{\frac{2L}{g}} \int_{-\theta_{0}}^{\theta_{0}} \frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_{0}}}.

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