(a) Se um pêndulo for liberado a partir do repouso em
=\theta_{0}), mostre que a velocidade angular é novamente 0 quando
.
(b) O período
do pêndulo é a quantidade de tempo necessária para
variar de
para
e retornar para
. Mostre que
=\theta_{0}), mostre que a velocidade angular é novamente 0 quando
(b) O período
Passo 1
O enunciado trata do pêndulo simples de massa
e comprimento
, liberado sem velocidade inicial em
. Queremos usar conservação de energia mecânica para (a) mostrar que a velocidade angular
volta a zero em
e (b) obter uma expressão integral para o período
.
Passo 2
A energia potencial do pêndulo é
e a energia cinética é
. Como a energia total se conserva e inicialmente
em
, temos
Isolando
na equação de conservação de energia,
Passo 3
(a) Quando
temos
. Então o lado direito da última equação vale zero, logo
. Assim a velocidade angular zera em
.
Para o período, escrevemos
Para o período, escrevemos
Passo 4
O tempo total
é o percurso de
até
e volta a
. Como a integral de
a
já cobre a ida e a volta simetricamente, obtemos
Resposta
(a) Ao
tem-se
.
(b)