Uma pesquisa de opinião com 1.000 espectadores da TV aberta revelou que 390 pessoas assistem à programação do canal A, 480 assistem ao canal B e 457 assistem ao canal C. Além disso, a pesquisa indicou que 151 pessoas assistem aos canais A e B, 167 espectadores assistem aos canais A e C, 188 pessoas assistem aos canais B e C, e 63 pessoas assistem a todos os três canais.
a) Quantos entrevistados não assistem a nenhum dos três canais?
b) Quantos espectadores assistem exclusivamente ao canal A?
c) Quantas pessoas não assistem aos canais A ou C?
d) Quantos espectadores assistem aos canais A e B, mas não assistem ao canal C?
e) Quantas pessoas assistem ao menos dois canais?

Passo 1

O enunciado traz uma pesquisa com N=1000 espectadores de TV sobre os canais A, B e C. Temos
lvert Arvert=390, lvert Brvert=480, lvert Crvert=457,
lvert Acap Brvert=151, lvert Acap Crvert=167, lvert Bcap Crvert=188 e lvert Acap Bcap Crvert=63.
O conteúdo envolvido é o Princípio da Inclusão-Exclusão em conjuntos, para achar uniões, interseções e complementos.

Passo 2

Para (a), contamos quem não assiste a nenhum canal. Primeiro, aplicamos a Inclusão-Exclusão para lvert Acup Bcup Crvert:
lvert Acup Bcup Crvert =lvert Arvert+lvert Brvert+lvert Crvert -l(lvert Acap Brvert+lvert Acap Crvert+lvert Bcap Crvertr) +lvert Acap Bcap Crvert
Substituindo valores:
lvert Acup Bcup Crvert =390+480+457-(151+167+188)+63=884
Logo, quem não assiste a nenhum é
1000-884=116

Passo 3

Para (b), espectadores que assistem exclusivamente a A são os de A menos os que também veem B ou C. Ou seja,
lvert Asetminus(Bcup C)rvert =lvert Arvert-l(lvert Acap Brvert+lvert Acap Crvert-lvert Acap Bcap Crvertr)
Substituindo:
390-(151+167-63)=390-255=135

Passo 4

Para (c), é quem não assiste nem A nem C, isto é, o complemento de Acup C. Primeiro
lvert Acup Crvert=lvert Arvert+lvert Crvert-lvert Acap Crvert =390+457-167=680
Então quem não assiste a A nem a C é
1000-680=320

Passo 5

Para (d), queremos quem assiste a A e B mas não a C. É
lvert (Acap B)setminus Crvert =lvert Acap Brvert-lvert Acap Bcap Crvert =151-63=88

Passo 6

Para (e), “ao menos dois canais” engloba exatamente duas e exatamente três. O total é
(lvert Acap Brvert-lvert Acap Bcap Crvert) +(lvert Acap Crvert-lvert Acap Bcap Crvert) +(lvert Bcap Crvert-lvert Acap Bcap Crvert) +lvert Acap Bcap Crvert
Numericamente,
(151-63)+(167-63)+(188-63)+63=88+104+125+63=380

Resposta

a) 116
b) 135
c) 320
d) 88
e) 380

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