Uma pesquisa em residências nos Estados Unidos revela que 96 \% têm, pelo menos, um aparelho de TV, 98 \% têm serviço de telefonia e 95 \% têm serviço de telefonia e, pelo menos, um aparelho de TV. Qual a porcentagem de residências nos Estados Unidos que não tem serviço de telefonia nem aparelho de TV?
4. Um relatório de marketing sobre computadores particulares afirma que 650.000 proprietários comprarão um modem para suas máquinas no próximo ano e 1.250 .000 comprarão, pelo menos, um software. Se o relatório afirmar que
1.450.000 proprietários comprarão ou um modem ou, pelo menos, um software, quantos comprarão um modem e, pelo menos, um software?

Passo 1

Vamos resumir tudo. Na primeira parte, temos uma pesquisa em que
96\% das residências têm TV,
98\% têm telefonia,
95\% têm ambos.
Queremos saber a porcentagem que não tem nem TV nem telefonia.
Na segunda parte, um relatório diz que
650.000 proprietários comprarão um modem,
1.250.000 comprarão software,
1.450.000 comprarão modem ou software.
Precisamos descobrir quantos comprarão ambos (modem e software).
O conteúdo aqui é o princípio da inclusão-exclusão para conjuntos finitos.

Passo 2

Para o primeiro problema, definimos
T = conjunto das residências com TV,
S = conjunto das residências com telefonia.
Pelo princípio da inclusão-exclusão:
|T \cup S| \;=\; |T| + |S| - |T \cap S| \;=\;96\% + 98\% - 95\% \;=\;99\%.
Logo, a porcentagem que não tem nem TV nem telefonia é o complemento de T \cup S:
100\% - 99\% = 1\%.

Passo 3

Para o segundo problema, definimos
M = número de proprietários que compram modem,
W = número de proprietários que compram software.
Sabemos |M|=650.000, |W|=1.250.000 e |M \cup W|=1.450.000.
Pelo princípio da inclusão-exclusão:
|M \cap W| = |M| + |W| - |M \cup W| = 650.000 + 1.250.000 - 1.450.000 = 450.000.

Resposta

1\% das residências não têm nem serviço de telefonia nem aparelho de TV. 450.000 proprietários comprarão um modem e, pelo menos, um software.

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