Um ponto M de uma face de um diedro dista 15 cm da outra face. Encontre a distância de M à aresta do diedro, sabendo que a medida do diedro é de 60^circ.
134. Calcule o comprimento de um segmento AB do interior de um diedro reto com A e B nas faces, sabendo que as projeções ortogonais A D e B C desse segmento sobre as faces medem respectivamente 21 cm e 25 cm e que a medida de CD é 15 cm .

Passo 1

O enunciado traz dois problemas de diedro:
1. Um ponto M de uma face de um diedro de medida 60^circ está a 15,cm da outra face; pede-se a distância de M à aresta.
2. Num diedro reto (ângulo de 90^circ), há um segmento AB no interior com A sobre a primeira face e B sobre a segunda. As projeções ortogonais desse segmento sobre as faces são AD=21,cm e BC=25,cm, e a distância entre os pés das projeções (no aresta) é CD=15,cm. Queremos o comprimento de AB.
Os conteúdos necessários são conceito de distância de ponto a aresta em diedro genérico (usando trigonometria no plano perpendicular à aresta) e projeção ortogonal em diedro reto (modelo cartesiano com planos perpendiculares).

Passo 2

Para o primeiro problema, note que, num diedro de medida alpha, a perpendicular abaixada de M à outra face mede
d = MD = l sinalpha,
once l é a distância de M à aresta. Aqui d=15,cm e alpha=60^circ, logo
l = dsinalpha = 15sin60^circ = 15tfracraiz32 = 15cdot2raiz3 = 10raiz3 (cm)

Passo 3

No segundo problema, como o diedro é reto, podemos adotar:
– o aresta é o eixo z,
– a primeira face é o plano y=0 ( xz-plano),
– a segunda face é o plano x=0 ( yz-plano).
Se A=(xA,0,zA) e B=(0,yB,zB), então:
– a projeção de AB no plano y=0 vai de A a D=(0,0,zB), dando
AD = raiz(0 - xA)^2 + (zB - zA)^2 = 21;
– no plano x=0 vai de C=(0,0,zA) a B, dando
BC = raiz(yB - 0)^2 + (zB - zA)^2 = 25;
– e CD é exatamente lvert zB - zArvert = 15.

Passo 4

Das fórmulas:
(zB - zA)^2 = 15^2 = 225,
logo
AD^2 = xA^2 + 225 = 21^2 = 441 Longrightarrow xA^2 = 441 - 225 = 216;
BC^2 = yB^2 + 225 = 25^2 = 625 Longrightarrow yB^2 = 625 - 225 = 400

Passo 5

Finalmente o comprimento de AB é
AB = raiz(0 - xA)^2 + (yB - 0)^2 + (zB - zA)^2 = raizxA^2 + yB^2 + 225 = raiz216 + 400 + 225 = raiz841 = 29 (cm)

Resposta

Distância de M à aresta: 10raiz3,cm.
Comprimento de AB: 29,cm.

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