Um ponto M de uma face de um diedro dista 15 cm da outra face. Encontre a distância de M à aresta do diedro, sabendo que a medida do diedro é de .
134. Calcule o comprimento de um segmento do interior de um diedro reto com A e B nas faces, sabendo que as projeções ortogonais A D e B C desse segmento sobre as faces medem respectivamente 21 cm e 25 cm e que a medida de CD é 15 cm .
Passo 1
O enunciado traz dois problemas de diedro: 1. Um ponto M de uma face de um diedro de medida 60^circ está a 15,cm da outra face; pede-se a distância de M à aresta. 2. Num diedro reto (ângulo de 90^circ), há um segmento AB no interior com A sobre a primeira face e B sobre a segunda. As projeções ortogonais desse segmento sobre as faces são AD=21,cm e BC=25,cm, e a distância entre os pés das projeções (no aresta) é CD=15,cm. Queremos o comprimento de AB.
Os conteúdos necessários são conceito de distância de ponto a aresta em diedro genérico (usando trigonometria no plano perpendicular à aresta) e projeção ortogonal em diedro reto (modelo cartesiano com planos perpendiculares).
Passo 2
Para o primeiro problema, note que, num diedro de medida alpha, a perpendicular abaixada de M à outra face mede
d = MD = l sinalpha,
once l é a distância de M à aresta. Aqui d=15,cm e alpha=60^circ, logo
No segundo problema, como o diedro é reto, podemos adotar:
– o aresta é o eixo z,
– a primeira face é o plano y=0 (xz-plano),
– a segunda face é o plano x=0 (yz-plano).
Se A=(xA,0,zA) e B=(0,yB,zB), então:
– a projeção de AB no plano y=0 vai de A a D=(0,0,zB), dando
Distância de M à aresta: 10raiz3,cm.
Comprimento de AB: 29,cm.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 133