Uma população cresce de acordo com a equação logística dada, onde t é medido em semanas.
(a) Qual é a capacidade de suporte? Qual é o valor de k ?
(b) Escreva a solução dessa equação.
(c) Qual é a população depois de 10 semanas?
\frac{d P}{d t}=0,02 P-0,0004 P^{2}, P(0)=40

Passo 1

O enunciado dá uma equação logística
\frac{dP}{dt}=0,02\,P-0,0004\,P^{2},\quad P(0)=40,
onde P(t) é o tamanho da população em semanas. O conteúdo é “crescimento logístico”: primeiro vamos identificar a capacidade de suporte e a taxa intrínseca, depois resolver a EDO por separação de variáveis e, por fim, avaliar P(10).

Passo 2

Para reconhecer a forma logística padrão
\frac{dP}{dt}=k\,P\Bigl(1-\frac{P}{M}\Bigr)
compare com \,0,02\,P-0,0004\,P^{2}. Aqui
k=0,02
e
\frac{k}{M}=0,0004 \quad\Longrightarrow\quad M=\frac{k}{0,0004}=\frac{0,02}{0,0004}=50.
Logo, a capacidade de suporte é M=50 e a taxa intrínseca é k=0,02.

Passo 3

Agora resolvemos
\frac{dP}{dt}=k\,P\Bigl(1-\frac{P}{M}\Bigr)
por separação de variáveis. Escrevendo
\int \frac{dP}{P\bigl(1-\tfrac{P}{M}\bigr)}=\int k\,dt,
fazendo frações parciais nota-se que
\frac{1}{P\bigl(1-\tfrac{P}{M}\bigr)} =\frac{M}{P\,(M-P)} =\frac{1}{P}+\frac{1}{M-P}.
Assim, integrando, obtemos
\ln\!\bigl(P\bigr)-\ln\!\bigl(M-P\bigr)=k\,t+C \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\Bigl(\frac{P}{M-P}\Bigr)=k\,t+C.

Passo 4

Usando P(0)=40 em
\ln\!\Bigl(\frac{P}{M-P}\Bigr)\Big|_{t=0}=C \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\Bigl(\frac{40}{50-40}\Bigr)=C \quad\Longrightarrow\quad C=\ln(4).
Então
\ln\!\Bigl(\frac{P}{50-P}\Bigr)=0,02\,t+\ln(4)
e
\frac{P}{50-P}=4\,e^{0,02\,t} \quad\Longrightarrow\quad P(t)=\frac{50}{1+4^{-1}e^{-0,02\,t}} =\frac{50}{1+0,25\,e^{-0,02\,t}}.

Passo 5

Para t=10:
P(10)=\frac{50}{1+0,25\,e^{-0,2}} \approx\frac{50}{1+0,25\cdot0,8187} =\frac{50}{1,2047}\approx41,5.

Resposta

(a) Capacidade de suporte M=50, taxa intrínseca k=0,02.
(b) P(t)=\displaystyle\frac{50}{1+0,25\,e^{-0,02\,t}}.
(c) P(10)\approx41,5.

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