É possível aplicar a regra de Cramer para discutir o sistema \left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\\\ 2 x+2 y+2 z=2 \\\\ 3 x+3 y+3 z=0\end{array}\right. ?

Solução:

Esse exemplo é apenas para demonstrar que a regra de Cramer não deve ser usada na discussão de um sistema. Alguns livros antigos continham a seguinte regra:
“Se \operatorname{det} A \neq 0 o sistema é possivel e determinado; se \operatorname{det} A=0 e se todos os \operatorname{det} A_{i} são nulos o sistema é possível e indeterminado e se \operatorname{det} A=0 e se pelo menos um dos det A_{i} é diferente de zero o sistema é impossível.”
O problema é que existem muitos sistemas em que essa regra falha. No sistema em questão, multiplicando a primeira equação por 3 obtém-se 3 x+3 y+3 z=3, que é incompatível com a terceira equação, fazendo com que o sistema seja impossível.
Entretanto, aplicando a regra falha citada:
\operatorname{det} A=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 2 & 2 \\\\ 3 & 3 & 3 \end{array}\right|=0 ; \operatorname{det} A_{s}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 2 & 2 \\\\ 0 & 3 & 3 \end{array}\right|=0 ; \operatorname{det} A_{y}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 2 & 2 \\\\ 3 & 0 & 3 \end{array}\right|=0 ; \operatorname{det} A_{z}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 2 & 2 \\\\ 3 & 3 & 3 \end{array}\right|=0
onde a conclusão (incorreta!) é sistema possivel c indeterminado, que não confere com a verdade, pois o sistema é, na verdade, impossível.
Esse exemplo prova que a regra de Cramer deve ser usada apenas para resulver um sistema linear, caso seja possível e determinado, nunca para discuti-lo.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
\begin{cases} x+y+z=1,\\\\ 2x+2y+2z=2,\\\\ 3x+3y+3z=0, \end{cases}
e pergunta se podemos usar a chamada “regra de Cramer estendida” para discutir (classificar) o sistema. O conteúdo envolve determinantes e compatibilidade de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 2 & 2\\\\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}.
Como todas as linhas são proporcionais, temos
\det A = 0.

Passo 3

Em seguida, segundo a regra de Cramer estendida (que alguns livros antigos propõem), deveríamos calcular os determinantes das matrizes obtidas trocando cada coluna pelos termos independentes. Por exemplo, para a coluna de x:
A_x = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 2 & 2\\\\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}, \quad \det A_x = 0,
e de modo análogo \det A_y=0, \det A_z=0.

Passo 4

Pela tal regra, \det A=0 e todos os \det A_i=0 levariam à conclusão de que o sistema é possível e indeterminado. Mas isso entra em contradição com as próprias equações: da primeira equação temos x+y+z=1, e multiplicando-a por 3 obteríamos
3x+3y+3z=3,
que não pode coincidir com a terceira equação 3x+3y+3z=0. Logo o sistema é impossível.

Passo 5

Esse exemplo mostra que a “regra de Cramer estendida” falha ao discutir sistemas: ela dá indeterminado quando o sistema é, na verdade, incompatível. A regra de Cramer só serve para resolver sistemas que já sabemos ser possíveis e determinados (isto é, com \det A\neq0).

Resposta

Não. Como \det A=0 a regra de Cramer não se aplica para discutir o sistema, e de fato o sistema é impossível, não indeterminado.

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