É possível aplicar a regra de Cramer para discutir o sistema \left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\\\ 2 x+2 y+2 z=2 \\\\ 3 x+3 y+3 z=0\end{array}\right. ?
Solução:
Esse exemplo é apenas para demonstrar que a regra de Cramer não deve ser usada na discussão de um sistema. Alguns livros antigos continham a seguinte regra:
“Se \operatorname{det} A \neq 0 o sistema é possivel e determinado; se \operatorname{det} A=0 e se todos os \operatorname{det} A_{i} são nulos o sistema é possível e indeterminado e se \operatorname{det} A=0 e se pelo menos um dos det A_{i} é diferente de zero o sistema é impossível.”
O problema é que existem muitos sistemas em que essa regra falha. No sistema em questão, multiplicando a primeira equação por 3 obtém-se 3 x+3 y+3 z=3, que é incompatível com a terceira equação, fazendo com que o sistema seja impossível.
Entretanto, aplicando a regra falha citada:
onde a conclusão (incorreta!) é sistema possivel c indeterminado, que não confere com a verdade, pois o sistema é, na verdade, impossível.
Esse exemplo prova que a regra de Cramer deve ser usada apenas para resulver um sistema linear, caso seja possível e determinado, nunca para discuti-lo.
e pergunta se podemos usar a chamada “regra de Cramer estendida” para discutir (classificar) o sistema. O conteúdo envolve determinantes e compatibilidade de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes
Em seguida, segundo a regra de Cramer estendida (que alguns livros antigos propõem), deveríamos calcular os determinantes das matrizes obtidas trocando cada coluna pelos termos independentes. Por exemplo, para a coluna de x:
Pela tal regra, \det A=0 e todos os \det A_i=0 levariam à conclusão de que o sistema é possível e indeterminado. Mas isso entra em contradição com as próprias equações: da primeira equação temos x+y+z=1, e multiplicando-a por 3 obteríamos
3x+3y+3z=3,
que não pode coincidir com a terceira equação 3x+3y+3z=0. Logo o sistema é impossível.
Passo 5
Esse exemplo mostra que a “regra de Cramer estendida” falha ao discutir sistemas: ela dá indeterminado quando o sistema é, na verdade, incompatível. A regra de Cramer só serve para resolver sistemas que já sabemos ser possíveis e determinados (isto é, com \det A\neq0).
Resposta
Não. Como \det A=0 a regra de Cramer não se aplica para discutir o sistema, e de fato o sistema é impossível, não indeterminado.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 12.Exercícios Resolvidos - Ex. 2