Como é possível encontrar o número de resultados de uma eliminatória entre dois times, em que o primeiro que vencer quatro jogos vence a eliminatória?

Passo 1

O enunciado descreve uma série “melhor de sete jogos”, ou seja, quem atingir quatro vitórias primeiro leva a eliminatória. O conteúdo aqui é contagem de sequências de resultados (vitória/derrota) que terminam assim que um dos times alcança quatro vitórias.

Passo 2

Observamos que a série pode terminar em 4, 5, 6 ou 7 jogos. Se terminar em n jogos 4\le n\le7, o vencedor tem exatamente quatro vitórias e o perdedor tem n-4 vitórias.

Passo 3

Vamos contar as sequências em que o Time A vence a série. Nesse caso, no jogo n o Time A faz a 4ª vitória; nos primeiros n-1 jogos ele teve exatamente 3 vitórias e o Time B teve (n-1)-3 = n-4 vitórias. O número de maneiras de escolher em quais desses n-1 jogos o Time A ganhou é
\binom{n-1}{3}.

Passo 4

Somando para n=4,5,6,7 (isto é, n-1=3,4,5,6) temos
\sum_{k=0}^{3}\binom{3+k}{3} =\binom{3}{3}+\binom{4}{3}+\binom{5}{3}+\binom{6}{3} =1+4+10+20 =35.
Logo, existem 35 sequências possíveis para o Time A vencer.

Passo 5

Por simetria, o Time B também tem 35 sequências possíveis de vitória. Portanto, o total de resultados possíveis da eliminatória é
35 + 35 = 70.

Resposta

70

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