Prob 6.1: Calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação em torno do eixo x da curva:
y=x^2 para x in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, da curva y = x^2 para xin[0,1]. O conteúdo é o cálculo de área de superfície de revolução, cuja fórmula é
S = integrala^b 2pi,y,raiz1+(y')^2,dx

Passo 2

Aqui temos y = x^2, logo
y' = dydx = 2x
e a fórmula vira
S = 2pi integral0^1 x^2 raiz1+(2x)^2,dx = 2pi integral0^1 x^2 raiz1+4x^2,dx

Passo 3

Para calcular
I = integral0^1 x^2 raiz1+4x^2,dx
fazemos a substituição hiperbólica
x = tfrac12sinh t, dx = tfrac12cosh t,dt,
então
raiz1+4x^2 = raiz1+sinh^2 t = cosh t, x^2 = tfrac14sinh^2 t
Quando x=0 temos t=0 e quando x=1 temos sinh t=2, ou seja t = arcsinh(2).

Passo 4

Substituindo em I:
I = integral0^arcsinh(2) tfrac14sinh^2 t;cosh t;tfrac12cosh t,dt = tfrac18integral0^Tsinh^2 t,cosh^2 t,dt,
onde T=arcsinh(2). Como sinh^2 t,cosh^2 t = (tfrac12sinh2t)^2 = tfrac14sinh^2 2t,
I = tfrac132integral0^Tsinh^2 2t,dt = tfrac132integral0^Tcosh4t-12,dt = 164l[tfrac14sinh4t - tr]0^T
e usando sinh T=2, cosh T=raiz5 sinh4T=72raiz5. Logo
I = 1256,72raiz5 ;-;164,T = 9raiz532 ;-;arcsinh(2)64

Passo 5

Voltando à área,
S = 2pi,I = 2pil(9raiz532 - arcsinh(2)64r) = 9piraiz516 ;-;pi32,arcsinh(2)
Como arcsinh(2)=ln(2+raiz5), podemos escrever
S = 9piraiz516 ;-;pi32,lnl(2+raiz5r)

Resposta

S = 9piraiz516 ;-;pi32,lnl(2+raiz5r)

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