O que é um problema do valor inicial? Como você resolve esse tipo de problema? Exemplifique.

Passo 1

Um problema de valor inicial (PVI) é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem da forma
\frac{dy}{dx}=f(x,y)
acompanhada de uma condição inicial
y(x_{0})=y_{0}.
O objetivo é encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação diferencial e, ao mesmo tempo, verifique essa condição em x=x_{0}.

Passo 2

Para resolver um PVI seguimos duas etapas principais:
  1. Encontrar a solução geral da equação diferencial, ou seja, a família de funções y(x;C) que satisfaz \tfrac{dy}{dx}=f(x,y), envolvendo uma constante arbitrária C.
  2. Aplicar a condição inicial y(x_{0})=y_{0} para determinar o valor de C, obtendo assim a solução particular que resolve o PVI.

Passo 3

Quando a EDO é separável, isto é, pode ser escrita como
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y),
fazemos a separação de variáveis:
\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx,
integramos ambos os lados e obtemos a solução geral.

Passo 4

Exemplo concreto: considere o PVI
\frac{dy}{dx}=k\,y,\quad y(0)=y_{0},
onde k é constante.
– É EDO separável, pois \tfrac{1}{y}\,dy = k\,dx.
– Integramos:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int k\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert y\rvert = kx + C.
– Exponenciando,
y(x)=Ce^{k x}.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=y_{0}:
y(0)=C e^{k\cdot 0}=C = y_{0}.
Logo, a solução particular do PVI é
y(x)=y_{0}\,e^{k x}.

Resposta

Um problema do valor inicial é uma EDO com uma condição em um ponto para fixar a constante de integração. Resolve-se obtendo a solução geral da EDO (por separação de variáveis, fator integrante etc.) e impondo a condição inicial para achar a constante.
Exemplo: de \tfrac{dy}{dx}=k\,y, y(0)=y_{0} obtém-se
y(x)=y_{0}\,e^{k x}.

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