O que é um problema do valor inicial? Como você resolve esse tipo de problema? Exemplifique.
Passo 1
Um problema de valor inicial (PVI) é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem da forma
acompanhada de uma condição inicial
O objetivo é encontrar uma função
que satisfaça a equação diferencial e, ao mesmo tempo, verifique essa condição em
.
Passo 2
Para resolver um PVI seguimos duas etapas principais:
- Encontrar a solução geral da equação diferencial, ou seja, a família de funções
que satisfaz , envolvendo uma constante arbitrária . - Aplicar a condição inicial
para determinar o valor de , obtendo assim a solução particular que resolve o PVI.
Passo 3
Quando a EDO é separável, isto é, pode ser escrita como
fazemos a separação de variáveis:
integramos ambos os lados e obtemos a solução geral.
Passo 4
Exemplo concreto: considere o PVI
onde
é constante.
– É EDO separável, pois .
– Integramos:
– É EDO separável, pois
– Integramos:
– Exponenciando,
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
:
Logo, a solução particular do PVI é
Resposta
Um problema do valor inicial é uma EDO com uma condição em um ponto para fixar a constante de integração. Resolve-se obtendo a solução geral da EDO (por separação de variáveis, fator integrante etc.) e impondo a condição inicial para achar a constante.
Exemplo: de ,
obtém-se
Exemplo: de