Nos Problemas 3 a 36, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
\int e^{5 x+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int e^{5x+3}\,dx
e depois conferir o resultado derivando-o. O conteúdo é integração de função exponencial do tipo e^{ax+b}, para o qual podemos usar uma substituição linear ou a regra direta

Passo 2

Fazendo a substituição
\displaystyle u = 5x + 3, então du = 5\,dx ou dx = \tfrac{du}{5}. Assim,
\int e^{5x+3}\,dx = \int e^{u}\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int e^{u}\,du = \frac{1}{5}e^{u} + C = \frac{1}{5}e^{5x+3} + C.

Passo 3

Para verificar, derivamos o resultado:
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{5}e^{5x+3}+C\Bigr) = \tfrac{1}{5}\,e^{5x+3}\,\frac{d}{dx}(5x+3) = \tfrac{1}{5}\,e^{5x+3}\times 5 = e^{5x+3},
que bate com o integrando original.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}e^{5x+3} + C

Exercícios de Livros Relacionados