Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos
e y, cúspides e tangentes verticais.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
determinando onde ela é crescente ou decrescente, onde é côncava para cima ou para baixo, e ainda identificar elementos importantes como máximos, mínimos, pontos de inflexão, assíntotas, interceptos etc. Vamos usar a derivada primeira para monotonicidade, a derivada segunda para concavidade, e depois achar interceptos e assíntotas.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira:
Como
para todo
, segue que
Portanto
é estritamente decrescente em
e não há intervalo de crescimento.
Passo 3
Agora a derivada segunda:
Novamente
para todo
, então
Isso mostra que a curva é côncava para cima em todo o domínio e não há concavidade para baixo nem ponto de inflexão.
Passo 4
Procuramos pontos críticos resolvendo
. Como
nunca é zero, não existem pontos críticos nem máximos ou mínimos locais.
Passo 5
Interceptos com os eixos:
– No eixo , em
,
– No eixo
logo há intercepto em
.
– No eixo , resolvemos
, ou
, impossível. Logo não há intercepto com o eixo
.
– No eixo
Passo 6
Assíntotas:
– Horizontal quando :
, então
– Horizontal quando
– Para
,
, não há assíntota vertical nem horizontal nessa direção.
Passo 7
Esboço do gráfico: começa em
(quando
), desce de modo estritamente decrescente, sempre côncavo para cima, atravessa
e se aproxima de
sem tocar. Não há vértices, nem pontos de inflexão, nem tangentes verticais.
Resposta
Crescente: nenhum
Decrescente:
Côncava para cima:
Côncava para baixo: nenhum
Máximos/min’imos locais: nenhum
Pontos de inflexão: nenhum
Intercepto em :
Intercepto em : nenhum
Assíntota horizontal:
Assíntotas verticais: nenhuma
Decrescente:
Côncava para cima:
Côncava para baixo: nenhum
Máximos/min’imos locais: nenhum
Pontos de inflexão: nenhum
Intercepto em
Intercepto em
Assíntota horizontal:
Assíntotas verticais: nenhuma