Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
g(x)=3+e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
g(x) = 3 + e^{-x}
determinando onde ela é crescente ou decrescente, onde é côncava para cima ou para baixo, e ainda identificar elementos importantes como máximos, mínimos, pontos de inflexão, assíntotas, interceptos etc. Vamos usar a derivada primeira para monotonicidade, a derivada segunda para concavidade, e depois achar interceptos e assíntotas.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
g'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(3 + e^{-x}\bigr) = -e^{-x}.
Como \;e^{-x}>0 para todo x, segue que
g'(x) = -e^{-x} < 0\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Portanto g é estritamente decrescente em (-\infty,\infty) e não há intervalo de crescimento.

Passo 3

Agora a derivada segunda:
g''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-e^{-x}\bigr) = e^{-x}.
Novamente e^{-x}>0 para todo x, então
g''(x)>0\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Isso mostra que a curva é côncava para cima em todo o domínio e não há concavidade para baixo nem ponto de inflexão.

Passo 4

Procuramos pontos críticos resolvendo g'(x)=0. Como g'(x)=-e^{-x} nunca é zero, não existem pontos críticos nem máximos ou mínimos locais.

Passo 5

Interceptos com os eixos:
– No eixo y, em x=0,
g(0)=3+e^0=4,
logo há intercepto em (0,4).
– No eixo x, resolvemos 3+e^{-x}=0, ou e^{-x}=-3, impossível. Logo não há intercepto com o eixo x.

Passo 6

Assíntotas:
– Horizontal quando x\to+\infty: e^{-x}\to0, então
\text{assíntota }y=3.í
– Para x\to-\infty, g(x)\to+\infty, não há assíntota vertical nem horizontal nessa direção.

Passo 7

Esboço do gráfico: começa em +\infty (quando x\to-\infty), desce de modo estritamente decrescente, sempre côncavo para cima, atravessa (0,4) e se aproxima de y=3 sem tocar. Não há vértices, nem pontos de inflexão, nem tangentes verticais.

Resposta

Crescente: nenhum
Decrescente: (-\infty,\infty)
Côncava para cima: (-\infty,\infty)
Côncava para baixo: nenhum
Máximos/min’imos locais: nenhum
Pontos de inflexão: nenhum
Intercepto em y: (0,4)
Intercepto em x: nenhum
Assíntota horizontal: y=3
Assíntotas verticais: nenhuma

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