Nos Problemas 1 a 8 determine os pontos críticos e classifique-os por meio do teste da segunda derivada.
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los pelo teste da segunda derivada. Vamos usar o fato de que pontos críticos em duas variáveis vêm de
e depois aplicar o determinante da Hessiana para classificar.
e depois aplicar o determinante da Hessiana para classificar.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais primeiras e iguale a zero:
Resolvendo o sistema
da primeira obtenho
. Substituindo na segunda:
Logo
.
O único ponto crítico é .
O único ponto crítico é
Passo 3
Calcule as segundas derivadas para montar a Hessiana:
Passo 4
O teste da segunda derivada usa o discriminante da Hessiana:
Como
e
, concluímos que em
a função tem um mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é um mínimo local.