Nos Problemas 1 a 8 determine os pontos críticos e classifique-os por meio do teste da segunda derivada.
z=2 x^2+x y+3 y^2+10 x-9 y+11.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
z = 2x^2 + x,y + 3y^2 + 10x - 9y + 11
e classificá-los pelo teste da segunda derivada. Vamos usar o fato de que pontos críticos em duas variáveis vêm de
nabla z = l(zx,zyr)= (0,0)
e depois aplicar o determinante da Hessiana para classificar.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais primeiras e iguale a zero:
zx = partial zpartial x = 4x + y + 10 = 0,
zy = partial zpartial y = x + 6y - 9 = 0
Resolvendo o sistema
4x + y + 10 = 0, x + 6y - 9 = 0,
da primeira obtenho y = -4x - 10. Substituindo na segunda:
x + 6(-4x - 10) - 9 = 0 ;;Longrightarrow;; x - 24x - 60 - 9 = 0 ;;Longrightarrow;; -23x = 69 ;;Longrightarrow;; x = -3
Logo y = -4(-3) - 10 = 12 - 10 = 2.
O único ponto crítico é l(-3,2r).

Passo 3

Calcule as segundas derivadas para montar a Hessiana:
fxx = partial^2 zpartial x^2 = 4, fyy = partial^2 zpartial y^2 = 6, fxy = partial^2 zpartial x,partial y = 1

Passo 4

O teste da segunda derivada usa o discriminante da Hessiana:
D = fxx,fyy - l(fxyr)^2 = 4 cdot 6 - 1^2 = 24 - 1 = 23
Como D>0 e fxx=4>0, concluímos que em l(-3,2r) a função tem um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é l(-3,2r) e ele é um mínimo local.

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