Nos Problemas 1-12, esboce a curva ou superfície de nível que passa pelo ponto indicado. Esboce o gradiente no ponto.
4.
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Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a gente esboce a curva de nível que passa por
e o vetor gradiente nesse ponto. O conteúdo aqui são curvas de nível de funções de duas variáveis e o cálculo do gradiente.
Passo 2
Primeiro descobrimos qual é o valor da função em
:
Isso significa que a curva de nível procurada é
Passo 3
A equação
é um círculo centrado em
de raio
. Note que
satisfaz essa equação, pois
. No esboço você desenha esse círculo e marca o ponto
sobre a circunferência.
Passo 4
Para achar o gradiente usamos
Logo, em
:
Esse vetor deve ser desenhado partindo de
apontando para cima e para a esquerda, perpendicular à curva de nível.
Resposta
A curva de nível que passa por
é
um círculo de raio
centrado na origem.
O gradiente em é
O gradiente em