Nos Problemas 1-12, esboce a curva ou superfície de nível que passa pelo ponto indicado. Esboce o gradiente no ponto.
4. f(x, y)=x^2+y^2 ;(-1,3)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^2+y^2
e pede que a gente esboce a curva de nível que passa por (-1,3) e o vetor gradiente nesse ponto. O conteúdo aqui são curvas de nível de funções de duas variáveis e o cálculo do gradiente.

Passo 2

Primeiro descobrimos qual é o valor da função em (-1,3):
f(-1,3)=(-1)^2+3^2=1+9=10
Isso significa que a curva de nível procurada é
x^2+y^2=10

Passo 3

A equação ;x^2+y^2=10; é um círculo centrado em (0,0) de raio raiz10. Note que (-1,3) satisfaz essa equação, pois (-1)^2+3^2=10. No esboço você desenha esse círculo e marca o ponto (-1,3) sobre a circunferência.

Passo 4

Para achar o gradiente usamos
nabla f(x,y)=l(partialxf,partialyfr)=(2x,2y)
Logo, em (-1,3):
nabla f(-1,3)=(2cdot(-1),,2cdot3)=(-2,6)
Esse vetor deve ser desenhado partindo de (-1,3) apontando para cima e para a esquerda, perpendicular à curva de nível.

Resposta

A curva de nível que passa por (-1,3) é
x^2+y^2=10,
um círculo de raio raiz10 centrado na origem.
O gradiente em (-1,3) é
nabla f(-1,3)=(-2,6)

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