Nos Problemas 11 a 14 , p=S(q) é o preço unitário em reais pelo qual q unidades de uma mercadoria serão produzidas e q_{0} é certo nível de produção. Em cada caso, determine o preço p_{0}=S\left(q_{0}\right) para o qual q_{0} unidades são oferecidas e calcule o excedente do produtor correspondente, EP. Trace a curva de oferta y=S(q) e sombreie a região cuja área representa o excedente do produtor.
\left.S(q)=10+e^{0.0034 \mathrm{q}}\right) ; q_{0}=3 unidades

Passo 1

O enunciado dá a curva de oferta
S(q)=10 + e^{0.0034\,q}
e o nível de produção q_{0}=3.
Precisamos determinar
  1. o preço de mercado
p_{0}=S(q_{0}),
  1. o excedente do produtor
\mathrm{EP}=\int_{0}^{q_{0}}\bigl(p_{0}-S(q)\bigr)\,dq
e descrever o sombreamento da região entre a reta p=p_{0} e a curva de oferta, de q=0 a q=q_{0}.

Passo 2

Calcular
p_{0}=S(3)=10 + e^{0.0034\cdot 3}=10 + e^{0.0102}.
Numericamente, e^{0.0102}\approx 1{,}01025, logo
p_{0}\approx 11{,}01025.

Passo 3

O excedente do produtor é a área
\mathrm{EP} =\int_{0}^{3}\bigl(p_{0}-S(q)\bigr)\,dq =3\,p_{0}-\int_{0}^{3}S(q)\,dq.

Passo 4

Primeiro calculemos
\int_{0}^{3}S(q)\,dq =\int_{0}^{3}\bigl(10+e^{0.0034\,q}\bigr)\,dq =10\cdot3 + \frac{e^{0.0034\,q}}{0.0034}\Big|_{0}^{3} =30 + \frac{e^{0.0102}-1}{0.0034}.
Logo
\mathrm{EP} =3\bigl(10+e^{0.0102}\bigr) -\Bigl[30 + \frac{e^{0.0102}-1}{0.0034}\Bigr] =3\,e^{0.0102}-\frac{e^{0.0102}-1}{0.0034}.
Substituindo e^{0.0102}\approx1{,}01025 e 1/0.0034\approx294{,}1176 obtemos
\mathrm{EP}\approx 3\cdot1{,}01025 - 294{,}1176\,(1{,}01025-1) \approx 0{,}01596.

Passo 5

Para o gráfico, trace a curva crescente y=10+e^{0.0034\,q}, marque o ponto (3,p_{0}) com p_{0}\approx11{,}01025 e desenhe a reta horizontal y=p_{0}. A região sombreada é a área entre essa reta e a curva de oferta, para 0\le q\le3, que equivale à integral usada acima.

Resposta

p_{0}=10 + e^{0.0102}\approx11{,}01025
\mathrm{EP}=3\,p_{0}-\displaystyle\int_{0}^{3}S(q)\,dq\approx0{,}01596 reais.

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