Nos Problemas 15 a 19, são dadas as funções demanda e oferta, D(q) e S(q) para certo produto. Isso significa que q unidades do produto serão demandadas (vendidas) se o preço unitário for p=D(q) reais e q unidades serão oferecidas (fabricadas) se o preço unitário for p=S(q) reais. Em cada caso:
(a) Determine o preço de equilibrio p_{e} (para o qual a oferta é igual à demanda).
(b) Determine o excedente do consumidor e o excedente do produtor no equilibrio.
D(q)=65-q^{2} ; S(q)=\frac{1}{3} q^{2}+2 q+5

Passo 1

O enunciado dá as curvas de demanda e oferta
D(q)=65 - q^{2},\qquad S(q)=\frac{1}{3}q^{2}+2q+5
e pede:
(a) o preço de equilíbrio p_{e} tal que demanda = oferta;
(b) o excedente do consumidor e o excedente do produtor nesse ponto.
Para isso precisamos encontrar a quantidade de equilíbrio q_{e} resolvendo D(q)=S(q), calcular p_{e}=D(q_{e}) e usar as fórmulas
\text{Excedente do consumidor}=\int_{0}^{q_{e}}D(q)\,dq - p_{e}\,q_{e},
\text{Excedente do produtor}=p_{e}\,q_{e} - \int_{0}^{q_{e}}S(q)\,dq.

Passo 2

Igualamos demanda e oferta para achar q_{e}:
65 - q^{2} = \frac{1}{3}q^{2}+2q+5
Reescrevendo,
65 -5 = \frac{1}{3}q^{2}+q^{2}+2q \quad\Longrightarrow\quad 60 = \frac{4}{3}q^{2} +2q
Multiplicando por 3,
180 = 4q^{2} +6q \quad\Longrightarrow\quad 4q^{2}+6q -180 =0 \quad\Longrightarrow\quad 2q^{2}+3q -90=0.
O discriminante é \Delta=3^{2}+4\cdot2\cdot90=729, \sqrt{\Delta}=27, então
q = \frac{-3\pm27}{4} \;\Longrightarrow\; q_{e} = \frac{-3+27}{4}=6
(descartamos a solução negativa).

Passo 3

O preço de equilíbrio é
p_{e}=D(q_{e})=65 - (6)^{2}=65-36=29.

Passo 4

O excedente do consumidor é
\int_{0}^{6}(65 - q^{2})\,dq \;-\;29\cdot6.
Calculando a integral,
\int_{0}^{6}(65 - q^{2})\,dq = \bigl[65q - \tfrac{q^{3}}{3}\bigr]_{0}^{6} = 65\cdot6 - \tfrac{6^{3}}{3} =390 -72 =318.
Logo
\text{Excedente do consumidor}=318 -174 =144.

Passo 5

O excedente do produtor é
29\cdot6 \;-\;\int_{0}^{6}\Bigl(\tfrac{1}{3}q^{2}+2q+5\Bigr)\,dq.
Calculando a integral,
\int_{0}^{6}\Bigl(\tfrac{1}{3}q^{2}+2q+5\Bigr)\,dq = \bigl[\tfrac{1}{9}q^{3}+q^{2}+5q\bigr]_{0}^{6} = \tfrac{1}{9}\cdot216 +36 +30 =24 +36 +30 =90.
Logo
\text{Excedente do produtor}=174 -90 =84.

Resposta

(a) p_{e}=29 reais.
(b) Excedente do consumidor = 144 reais; Excedente do produtor = 84 reais.

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