Nos Problemas 15 a 19, são dadas as funções demanda e oferta, D(q) e S(q) para certo produto. Isso significa que q unidades do produto serão demandadas (vendidas) se o preço unitário for p=D(q) reais e q unidades serão oferecidas (fabricadas) se o preço unitário for p=S(q) reais. Em cada caso:
(a) Determine o preço de equilibrio p_{e} (para o qual a oferta é igual à demanda).
(b) Determine o excedente do consumidor e o excedente do produtor no equilibrio.
\left.D(q)=-0,3 q^{2}\right) ;+70 ; \mathrm{S}(q)=0.1 q^{2}+q+20

Passo 1

O enunciado fornece as funções de demanda e oferta
D(q) = -0,3\,q^{2} + 70
S(q) = 0,1\,q^{2} + q + 20
e pede:
(a) o preço de equilíbrio p_{e}, obtido quando a quantidade demandada iguala a oferecida;
(b) o excedente do consumidor e o excedente do produtor no ponto de equilíbrio.
Para resolver, usaremos a condição
D(q)=S(q)
e as fórmulas
\text{Excedente do consumidor} = \int_{0}^{q_{e}}D(q)\,dq - p_{e}\,q_{e},
\text{Excedente do produtor} = p_{e}\,q_{e} - \int_{0}^{q_{e}}S(q)\,dq.

Passo 2

Encontrar a quantidade de equilíbrio q_{e} resolvendo
-0,3\,q^{2} + 70 = 0,1\,q^{2} + q + 20.
Reagrupando termos:
-0,3\,q^{2} - 0,1\,q^{2} - q + 70 - 20 = 0 \;\Longrightarrow\; -0,4\,q^{2} - q + 50 = 0 \;\Longrightarrow\; 0,4\,q^{2} + q - 50 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara,
q = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4\cdot0,4\cdot50}}{2\cdot0,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{0,8} = \frac{-1 \pm 9}{0,8}.
Apenas a solução positiva faz sentido economicamente:
q_{e} = \frac{-1 + 9}{0,8} = 10.

Passo 3

O preço de equilíbrio p_{e} é
p_{e} = D(q_{e}) = -0,3\cdot10^{2} + 70 = -30 + 70 = 40.

Passo 4

Calcular o excedente do consumidor:
\int_{0}^{10}D(q)\,dq = \int_{0}^{10}(-0,3\,q^{2} + 70)\,dq = \bigl[-0,1\,q^{3} + 70\,q\bigr]_{0}^{10} = -0,1\cdot1000 + 700 = 600.
Logo
\text{Excedente do consumidor} = 600 - 40\cdot10 = 600 - 400 = 200.

Passo 5

Calcular o excedente do produtor:
\int_{0}^{10}S(q)\,dq = \int_{0}^{10}(0,1\,q^{2} + q + 20)\,dq = \bigl[\tfrac{0,1}{3}q^{3} + \tfrac{1}{2}q^{2} + 20\,q\bigr]_{0}^{10} = \frac{100}{3} + 50 + 200 = \frac{850}{3}.
Portanto
\text{Excedente do produtor} = 40\cdot10 - \frac{850}{3} = 400 - \frac{850}{3} = \frac{350}{3}.

Resposta

(a) p_{e} = 40.
(b) Excedente do consumidor =200; Excedente do produtor =\tfrac{350}{3}\approx116,67.

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