Nos Problemas 11 a 14 , p=S(q) é o preço unitário em reais pelo qual q unidades de uma mercadoria serão produzidas e q_{0} é certo nível de produção. Em cada caso, determine o preço p_{0}=S\left(q_{0}\right) para o qual q_{0} unidades são oferecidas e calcule o excedente do produtor correspondente, EP. Trace a curva de oferta y=S(q) e sombreie a região cuja área representa o excedente do produtor.
\left.S(q)=17+11 e^{0.0014 \mathrm{q}}\right) ; q_{0}=7 unidades

Passo 1

O enunciado fornece a curva de oferta
S(q)=17+11\,e^{0,0014\,q}
e pede, para q_{0}=7:
– o preço de oferta p_{0}=S(q_{0}),
– o excedente do produtor
\mathrm{EP}=\int_{0}^{q_{0}}\bigl(p_{0}-S(q)\bigr)\,dq,
além de traçar a curva p=S(q) e sombrear a região entre p=S(q) e a reta horizontal p=p_{0} de q=0 a q=7.

Passo 2

Calcular p_{0}=S(7):
p_{0} =17+11\,e^{0,0014\cdot7} =17+11\,e^{0,0098}.
Numericamente, como e^{0,0098}\approx1,00985,
p_{0}\approx17+11\cdot1,00985\approx28,1083\\ (\text{reais}).

Passo 3

Escrever o excedente como integral
\mathrm{EP} =\int_{0}^{7}\bigl(p_{0}-[17+11\,e^{0,0014q}]\bigr)\,dq =7\,p_{0}-\int_{0}^{7}\bigl(17+11\,e^{0,0014q}\bigr)\,dq.

Passo 4

Calcular a integral de S(q):
\int_{0}^{7}S(q)\,dq =\int_{0}^{7}17\,dq +\int_{0}^{7}11\,e^{0,0014q}\,dq =17\cdot7+\frac{11}{0,0014}\bigl(e^{0,0014\cdot7}-1\bigr).
Como \tfrac{11}{0,0014}\approx7857{,}1429 e e^{0,0098}-1\approx0,00985, temos
\int_{0}^{7}S(q)\,dq \approx119+7857{,}1429\times0,00985 \approx119+77,42 \approx196,42.

Passo 5

Substituindo em \mathrm{EP}=7\,p_{0}-\int_{0}^{7}S(q)\,dq,
7\,p_{0}\approx7\times28,1083\approx196,7581,
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\mathrm{EP} \approx196,7581-196,42 \approx0,3381\\ (\text{reais}).

Resposta

p_{0}=17+11\,e^{0,0098}\approx28,11 reais
\mathrm{EP}\approx0,34 reais
Na curva p=S(q) (exponencial crescente ligeiramente), traça-se a reta horizontal p=28,11 de q=0 até q=7 e sombreia-se a região entre essa reta e a curva de oferta.

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