Nos Problemas de 25 a 28 use integrais iteradas para calcular os volumes das regiões dadas do espaço. Esboce cada região.
A região do primeiro octante limitada pela superfície z=4-x-y^2.

Passo 1

Resumindo, queremos o volume da região no primeiro octante (isto é, (x,y,z) com x>=0, y>=0, z>=0) limitada pela superfície
z = 4 - x - y^2
O método é projetar essa região no plano xy e usar uma integral iterada para
V = integral duplaD(4 - x - y^2),dA

Passo 2

Para garantir z>=0 precisamos de
4 - x - y^2 >= 0 Longrightarrow x <= 4 - y^2
Junto com x>=0 e y>=0, a projeção D é
D = (x,y)mid 0 <= y <= 2,;0 <= x <= 4 - y^2

Passo 3

Escrevemos a integral iterada seguindo a ordem dx,dy:
V = integraly=0^2integralx=0^4 - y^2l(4 - x - y^2r),dx,dy

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em x:
integral0^4-y^2(4 - y^2 - x),dx = (4 - y^2)x - x^22|0^4-y^2 = (4 - y^2)^22
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V = integral0^2(4 - y^2)^22,dy

Passo 5

Expandindo e integrando em y:
V = 12integral0^2l(16 - 8y^2 + y^4r),dy = 12l[16y - 83y^3 + 15y^5r]0^2 = 12l(32 - 643 + 325r) = 12815

Passo 6

Para esboçar, note que a região é a parte do paraboloide invertido z=4-x-y^2 que fica acima do plano z=0 no primeiro octante. Na projeção xy é o domínio delimitado pela curva x=4-y^2 para 0<= y<=2.

Resposta

V = 12815

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