Nos Problemas 3-10, utilize o método dessa seção para calcular A^ m . Use esse resultado para calcular a potência indicada da matriz A.
A=(rr5 & -3 -3 & 5) ; m=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular A^m com
A = 5 & -3-3 & 5, m=4
O conteúdo é diagonalização de matriz simétrica para elevar à potência.

Passo 2

Calculamos os autovalores resolvendo det(A-lambda I)=0:
det!5-lambda & -3-3 & 5-lambda =(5-lambda)^2-9=0 ;Longrightarrow; (5-lambda)^2=9
Logo lambda=5pm3, ou seja,
lambda1=8, lambda2=2

Passo 3

Para cada autovalor achamos um autovetor não nulo:
  • Se lambda1=8, resolvemos (A-8I)v=0, dando v1=(1,-1)^T.
  • Se lambda2=2, resolvemos (A-2I)v=0, dando v2=(1,1)^T.
Formamos então
P=l[v1;v2r] =1&1-1&1, P^-1=121&-11&1

Passo 4

Diagonalizamos A=Pdiag(8,2)P^-1. Então
A^4 =P8^4&00&2^4P^-1 =P4096&00&16P^-1
Primeiro
P4096&00&16 =1&1-1&1 4096&00&16 =4096&16-4096&16
Multiplicando por P^-1:
A^4 =124096&16-4096&16 1&-11&1 =124096+16 & -4096+16 -4096+16 & 4096+16 =2056 & -2040-2040 & 2056

Resposta

A^4 =2056 & -2040-2040 & 2056

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