(a) Provar que no intervalo aberto
a derivada
é dada por
(b) Calcular
e
.
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove, para
, que a derivada de
(polinômio de Chebyshev de primeira espécie) satisfaz
e depois calcule
e
. O conteúdo usado será a representação trigonométrica
mais a regra da cadeia para derivadas e limites no fim de intervalo.
Passo 2
Usamos a identidade básica de Chebyshev:
de modo que
e
quando
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia em
:
Passo 4
Para achar
, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Substituindo em
obtemos
que, em notação de sen em português, é exatamente
Passo 6
Para
, temos
. Usando o limite clássico
segue
Passo 7
Para
,
. Escrevendo
com
,
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