(a) Provar que no intervalo aberto (-1,1) a derivada Tn^prime é dada por
Tn^prime(x)=n sen n thetasen theta, com theta=arccos x
(b) Calcular Tn^prime(1) e Tn^prime(-1).

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove, para xin(-1,1), que a derivada de Tn(x) (polinômio de Chebyshev de primeira espécie) satisfaz
Tn'(x)=n,sen(ntheta)sen(theta), theta=arccos x,
e depois calcule Tn'(1) e Tn'(-1). O conteúdo usado será a representação trigonométrica
Tn(x)=cos(ntheta), x=costheta,
mais a regra da cadeia para derivadas e limites no fim de intervalo.

Passo 2

Usamos a identidade básica de Chebyshev:
Tn(x)=cosl(nthetar), theta=arccos x,
de modo que x=costheta e thetain(0,pi) quando xin(-1,1).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em Tn(x)=cos(ntheta):
Tn'(x) =ddxcos(ntheta) =-sin(ntheta),ddxl(nthetar) =-n,sin(ntheta),dthetadx

Passo 4

Para achar dtheta/dx, derivamos x=costheta em relação a theta:
dxdtheta=-sintheta Longrightarrow dthetadx=-1sintheta

Passo 5

Substituindo em Tn'(x) obtemos
Tn'(x) =-n,sin(ntheta),l(-1sinthetar) =n,sin(ntheta)sintheta,
que, em notação de sen em português, é exatamente
Tn'(x) =n,sen(ntheta)sen(theta)

Passo 6

Para xto1^-, temos theta=arccos xto0^+. Usando o limite clássico
limthetato0sin(ntheta)sintheta=n,
segue
Tn'(1) =limxto1^-nsin(ntheta)sintheta =ncdot n=n^2

Passo 7

Para xto-1^+, thetatopi^-. Escrevendo theta=pi-de<a com de<ato0^+,
sintheta=sin(pi-de<a)=sinde<asimde<a, sin(ntheta)=sin(npi-nde<a)=(-1)^nsin(nde<a)sim(-1)^nnde<a
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limthetatopisin(ntheta)sintheta =(-1)^nn Longrightarrow Tn'(-1) =ncdotl((-1)^nnr) =(-1)^nn^2

Resposta

Tn'(x) =n,sen(ntheta)sen(theta), theta=arccos x;
Tn'(1)=n^2, Tn'(-1)=(-1)^nn^2

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