Provar que qualquer triângulo inscrito num semicírculo é retângulo, em que a hipotenusa é o diâmetro do semicírculo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um semicírculo de diâmetro AB, qualquer ponto C na circunferência faz com que o triângulo ABC seja retângulo, com hipotenusa AB. O conteúdo é geometria de círculos, mais especificamente a relação entre ângulo inscrito e ângulo central que interceptam o mesmo arco.

Passo 2

Seja O o centro do círculo e AB o seu diâmetro. Como O é o ponto médio de AB, os pontos A, O e B são colineares e a medida do ângulo central ang<= AOB é de 180^circ (reta).

Passo 3

Pela propriedade do ângulo inscrito, o ângulo ang<= ACB inscrito na circunferência que intercepta o mesmo arco AB vale metade do ângulo central ang<= AOB. Assim,
measuredang<= ACB = tfrac12,measuredang<= AOB

Passo 4

Como measuredang<= AOB = 180^circ, segue
measuredang<= ACB = tfrac12 times 180^circ = 90^circ
Logo, o ângulo em C é reto e o lado oposto a ele, AB, é a hipotenusa.

Resposta

O triângulo ABC é retângulo em C, com hipotenusa AB.

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