Prove que, se dois planos são paralelos e uma reta é concorrente com um deles, então essa reta é concorrente com o outro.

Passo 1

O enunciado diz que há dois planos paralelos alpha e beta e uma reta d que é concorrente a alpha, isto é, intersecta alpha num único ponto. Queremos mostrar que d também intersecta beta. O conteúdo é a posição relativa de reta e plano e o critério analítico de interseção: uma reta intersecta um plano se, e somente se, seu vetor diretor não for paralelo ao plano (não for ortogonal ao vetor normal do plano).

Passo 2

Como alphaparal<=lbeta, elas têm o mesmo vetor normal, digamos vec n. Seja vec v o vetor diretor de d. A reta d intersecta alpha implica que vec v não é paralelo a alpha, ou seja,
vec ncdotvec vneq0

Passo 3

Escrevemos d em forma paramétrica:
d:;X=P+t,vec v,
em que Pin d. A equação de beta pode ser dada por
vec ncdot(X-Q)=0,
onde Q é um ponto de beta. Para achar a interseção, substituímos X=P+t,vec v:
vec ncdotl(P+tvec v - Qr)=0 ;Longrightarrow; vec ncdot(P-Q)+t,l(vec ncdotvec vr)=0

Passo 4

Como vec ncdotvec vneq0, podemos resolver para t:
t = -vec ncdot(P-Q)vec ncdotvec v,
e esse valor de t é único e real. Logo, existe exatamente um ponto de d que satisfaz a equação de beta, isto é, d intersecta beta.

Resposta

A reta d intersecta ambos os planos alpha e beta.

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