Prove que, se dois planos são paralelos e uma reta é concorrente com um deles, então essa reta é concorrente com o outro.
Passo 1
O enunciado diz que há dois planos paralelos
e
e uma reta
que é concorrente a
, isto é, intersecta
num único ponto. Queremos mostrar que
também intersecta
. O conteúdo é a posição relativa de reta e plano e o critério analítico de interseção: uma reta intersecta um plano se, e somente se, seu vetor diretor não for paralelo ao plano (não for ortogonal ao vetor normal do plano).
Passo 2
Como
, elas têm o mesmo vetor normal, digamos
. Seja
o vetor diretor de
. A reta
intersecta
implica que
não é paralelo a
, ou seja,
Passo 3
Escrevemos
em forma paramétrica:
em que
. A equação de
pode ser dada por
onde
é um ponto de
. Para achar a interseção, substituímos
:
Passo 4
Como
, podemos resolver para
:
e esse valor de
é único e real. Logo, existe exatamente um ponto de
que satisfaz a equação de
, isto é,
intersecta
.
Resposta
A reta
intersecta ambos os planos
e
.