Ex. 8.45 - Prove por indução as seguintes propriedades do somatório
sumk=1^n(ak-ak+1)=a0-an (propriedade telescópica)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução em n, que para qualquer sequência akk>=1 vale
sumk=1^nl(ak-ak+1r)=a1-an+1
Este é o efeito telescópico: quase todos os termos se cancelam dois a dois.

Passo 2

(Verificação para n=1). Para n=1 temos
sumk=1^1(ak-ak+1)=a1-a2,
e o lado direito também é
a1-a1+1=a1-a2
Logo a igualdade vale para n=1.

Passo 3

(Passo indutivo). Suponha que para algum n>=1 já seja verdade
sumk=1^n(ak-ak+1)=a1-an+1
Então para n+1 escrevemos
sumk=1^n+1(ak-ak+1) =sumk=1^n(ak-ak+1)+l(an+1-an+2r)
Pelo passo indutivo a primeira soma é a1-an+1, logo
a1-an+1+l(an+1-an+2r) = a1-an+2,
que é exatamente o enunciado para n+1. Assim a propriedade vale para todo n.

Resposta

sumk=1^nl(ak-ak+1r)=a1-an+1

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