Ex. 8.45 - Prove por indução as seguintes propriedades do somatório
(propriedade telescópica)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução em
, que para qualquer sequência
vale
Este é o efeito telescópico: quase todos os termos se cancelam dois a dois.
Passo 2
(Verificação para
). Para
temos
e o lado direito também é
Logo a igualdade vale para
.
Passo 3
(Passo indutivo). Suponha que para algum
já seja verdade
Então para
escrevemos
Pelo passo indutivo a primeira soma é
, logo
que é exatamente o enunciado para
. Assim a propriedade vale para todo
.