Ex. 8.48 - Usando o princípio da recursão e escolhendo o conjunto A e a função g prove a existência e unicidade das seguintes funções:
a) O somatório de uma sequência
b) O produtório de uma sequência
a) O somatório de uma sequência
b) O produtório de uma sequência
Passo 1
O enunciado pede que, usando o Princípio da Recursão, a gente prove que existem e são únicas duas funções associadas a uma sequência
:
a) o somatório
b) o produtório
O conteúdo é o Princípio da Recursão Simples, que garante existência e unicidade de funções definidas por condição inicial e passo recursivo.
a) o somatório
b) o produtório
O conteúdo é o Princípio da Recursão Simples, que garante existência e unicidade de funções definidas por condição inicial e passo recursivo.
Passo 2
Enunciamos o Princípio da Recursão Simples:
Dado um conjunto , um elemento
e uma função
Dado um conjunto
existe uma única função
tal que
Passo 3
Para o somatório de
escolhemos
Pelo Princípio da Recursão existe única função
com
Definimos então
o que prova existência e unicidade do somatório.
Passo 4
Para o produtório de
escolhemos
Pelo Princípio da Recursão existe única função
com
Definimos então
o que prova existência e unicidade do produtório.
Resposta
(a) A soma
existe e é única pela recursão
(b) O produto
existe e é único pela recursão