Ex. 8.48 - Usando o princípio da recursão e escolhendo o conjunto A e a função g prove a existência e unicidade das seguintes funções:
a) O somatório de uma sequência
b) O produtório de uma sequência

Passo 1

O enunciado pede que, usando o Princípio da Recursão, a gente prove que existem e são únicas duas funções associadas a uma sequência (xn)ninN:
a) o somatório sumi=1^nxi
b) o produtório prodi=1^nxi
O conteúdo é o Princípio da Recursão Simples, que garante existência e unicidade de funções definidas por condição inicial e passo recursivo.

Passo 2

Enunciamos o Princípio da Recursão Simples:
Dado um conjunto A, um elemento a0in A e uma função
gcolon AtimesNto A,
existe uma única função
fcolonNto A
tal que
f(0)=a0 e f(n+1)=gl(f(n),nr) forall ninN

Passo 3

Para o somatório de (xn) escolhemos
A=R, a0=0, g(s,n)=s + xn+1
Pelo Princípio da Recursão existe única função
ScolonNtoR
com
S(0)=0, S(n+1)=S(n)+xn+1
Definimos então
sumi=1^nxi = S(n),
o que prova existência e unicidade do somatório.

Passo 4

Para o produtório de (xn) escolhemos
A=R, a0=1, g(p,n)=p cdot xn+1
Pelo Princípio da Recursão existe única função
PcolonNtoR
com
P(0)=1, P(n+1)=P(n)cdot xn+1
Definimos então
prodi=1^nxi = P(n),
o que prova existência e unicidade do produtório.

Resposta

(a) A soma sumi=1^nxi existe e é única pela recursão
S(0)=0, S(n+1)=S(n)+xn+1
(b) O produto prodi=1^nxi existe e é único pela recursão
P(0)=1, P(n+1)=P(n)cdot xn+1

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