O conteúdo central é aritmética modular e análise de fatores em . Vamos mostrar as duas implicações: . Se é primo então . . Se então é primo.
Passo 2
() Suponha que é primo. Então no corpo cada elemento tem inverso único , e as únicas soluções de
são e .
Em particular, entre os números só é auto-inverso. Portanto podemos agrupar cada com seu inverso distinto , e cada par contribui com . Ficamos então com
Passo 3
() Suponha agora que . Vamos mostrar que não pode ser composto.
— Se , então , logo não satisfaz a condição.
— Se é composto e , existe divisor próprio com . Então também satisfaz . Ambos e aparecem em , de modo que
implicando (n-2)!equiv0pmod nneq1.
Assim nenhum n composto pode satisfazer (n-2)!equiv1pmod n, e segue que se (n-2)!equiv1pmod n então n é primo.
Resposta
Portanto, mostramos as duas direções e concluímos que
n>1 é primo Long<=ftrightarrow (n-2)!equiv1pmod n é
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 332