Prove que há infinitos números primos da forma 8 k+1.

Passo 1

O problema pede para mostrar que existem infinitos números primos congruentes a 1 módulo 8. O conteúdo que vamos usar é:
  1. A definição dos números de Fermat
  2. O fato de que dois números de Fermat distintos são coprimos
  3. No grupo multiplicativo l(Z/pZr)^times, a ordem de um elemento divide p-1
  4. Propriedades da ordem de 2 módulo p

Passo 2

Definimos o n-ésimo número de Fermat por
Fn = 2^2^n + 1
É fácil ver, por um argumento de soma e diferença de potências, que se m<n então
gcdl(Fm,Fnr) = 1
Isso significa que cada Fn traz pelo menos um fator primo “novo” que não divide nenhum Fm com m<n.

Passo 3

Seja n>=2 e seja p um primo divisor de Fn. Então
2^2^n equiv -1 pmod p
Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos
2^2^n+1 equiv 1 pmod p
Isto mostra que a ordem de 2 no grupo l(Z/pZr)^times é exatamente
ordp(2) = 2^n+1

Passo 4

Pelo Teorema de Lagrange em grupos finitos, ordp(2) divide l|l(Z/pZr)^timesr| = p-1. Logo
2^n+1;|;(p-1)
Para n>=2 temos 2^n+1>= 2^3 = 8, e portanto
p-1 equiv 0 pmod 8 Longrightarrow p equiv 1 pmod 8

Passo 5

Como existem infinitos Fn e cada um carrega ao menos um novo primo divisor, concluímos que há infinitos primos p tais que
p equiv 1 pmod 8

Resposta

Existem infinitos números primos da forma 8k+1.

Exercícios de Livros Relacionados