Prove que há infinitos números primos da forma
.
Passo 1
O problema pede para mostrar que existem infinitos números primos congruentes a
módulo
. O conteúdo que vamos usar é:
- A definição dos números de Fermat
- O fato de que dois números de Fermat distintos são coprimos
- No grupo multiplicativo
, a ordem de um elemento divide - Propriedades da ordem de
módulo
Passo 2
Definimos o
-ésimo número de Fermat por
É fácil ver, por um argumento de soma e diferença de potências, que se
então
Isso significa que cada
traz pelo menos um fator primo “novo” que não divide nenhum
com
.
Passo 3
Seja
e seja
um primo divisor de
. Então
Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos
Isto mostra que a ordem de
no grupo
é exatamente
Passo 4
Pelo Teorema de Lagrange em grupos finitos,
divide
. Logo
Para
n>=2 temos
2^n+1>= 2^3 = 8 , e portanto
Passo 5
Como existem infinitos
Fn e cada um carrega ao menos um novo primo divisor, concluímos que há infinitos primos
p tais que
Resposta
Existem infinitos números primos da forma
8k+1 .