Prove que
é irracional.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
é um número irracional. O conteúdo principal é prova por contradição usando operações algébricas e o fato já conhecido de que
é irracional.
Passo 2
Definimos
e suponhamos, para chegar a uma contradição, que
Passo 3
Da definição de
temos
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
No lado esquerdo:
e no direito:
Logo,
Passo 4
Reorganizando termos,
ou seja,
Daí segue
Se
fosse racional, o lado direito seria racional, forçando
a ser racional — contradição, pois sabemos que
.
Passo 5
Só precisamos garantir que o denominador
não seja zero. Se fosse
, voltaríamos à definição
que ao quadrado daria
absurdo. Logo
e o denominador é de fato não-nulo.