Prove que √2+√3-√6 é irracional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
X = raiz2 + raiz3 - raiz6
é um número irracional. O conteúdo principal é prova por contradição usando operações algébricas e o fato já conhecido de que raiz6 é irracional.

Passo 2

Definimos
X = raiz2 + raiz3 - raiz6
e suponhamos, para chegar a uma contradição, que
X in Q

Passo 3

Da definição de X temos
raiz2 + raiz3 = X + raiz6
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
l(X + raiz6r)^2 = (raiz2 + raiz3)^2
No lado esquerdo:
l(X + raiz6r)^2 = X^2 + 2Xraiz6 + 6,
e no direito:
(raiz2 + raiz3)^2 = 2 + 3 + 2raiz6 = 5 + 2raiz6
Logo,
X^2 + 2Xraiz6 + 6 = 5 + 2raiz6

Passo 4

Reorganizando termos,
2Xraiz6 - 2raiz6 = 5 - 6 - X^2 = -l(X^2 + 1r),
ou seja,
2,(X - 1),raiz6 = -l(X^2 + 1r)
Daí segue
raiz6 = -X^2 + 12,(X - 1)
Se X fosse racional, o lado direito seria racional, forçando raiz6 a ser racional — contradição, pois sabemos que raiz6notinQ.

Passo 5

Só precisamos garantir que o denominador 2,(X-1) não seja zero. Se fosse X=1, voltaríamos à definição
1 = raiz2 + raiz3 - raiz6
que ao quadrado daria
1 + 2raiz6 = 5 + 2raiz6Longrightarrow1 = 5,
absurdo. Logo Xneq1 e o denominador é de fato não-nulo.

Resposta

raiz2 + raiz3 - raiz6 é irracional.

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