Prove que 5 mid n(n^2+1)(n^2+4).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 5 divide o produto n(n^2+1)(n^2+4). O conteúdo principal é aritmética modular: basta ver que em qualquer classe de resto módulo 5 um dos fatores é múltiplo de 5, e então o produto também é múltiplo de 5.

Passo 2

Vamos listar os possíveis resíduos de n módulo 5. Para todo inteiro n vale
n equiv 0,1,2,3,4 pmod5

Passo 3

Analisamos caso a caso:
  • Se nequiv 0pmod5, então 5mid n e, portanto, 5mid n(n^2+1)(n^2+4).
  • Se nequiv pm1pmod5, isto é, nequiv1 ou nequiv4pmod5, então
n^2 equiv 1 pmod5 Longrightarrow n^2+4 equiv 1+4 equiv 0 pmod5,
logo 5mid (n^2+4) e assim 5mid n(n^2+1)(n^2+4).
  • Se nequiv pm2pmod5, isto é, nequiv2 ou nequiv3pmod5, então
n^2 equiv 4 pmod5 Longrightarrow n^2+1 equiv 4+1 equiv 0 pmod5,
logo 5mid (n^2+1) e assim 5mid n(n^2+1)(n^2+4).

Resposta

Em qualquer caso, um dos fatores n, n^2+1 ou n^2+4 é múltiplo de 5. Portanto,
5 mid n(n^2+1)(n^2+4)

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