Prove que
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade envolvendo pisos e a razão áurea
onde
e
.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- A relação quadrática
. - A definição de piso e parte fracionária, escrevendo
com . - A propriedade
sempre que .
Passo 2
Defina
Escreva também
Então
é o inteiro mais próximo de
, logo
Agora use
para manipular
Defina
Como
e
, temos
isto é
Portanto
com
.
Passo 3
Usamos agora a propriedade do piso: para todo real
e todo
vale
Aqui tomamos
, de modo que
. Queremos aplicar isso a
e sabemos que
porque
. Para a parte de baixo,
sempre que
. Mas mesmo que
, vemos que
e
em parte do intervalo; de todo modo a análise a seguir cobre ambos os subcasos de
.
Passo 4
Dividimos em dois subcasos segundo
.
-
Se
, então , logo . Daí
.
Assime portanto -
Se
, então , logo . Daí
,
e assim de novoo que implica
Em ambos os casos obtemos
que é exatamente a identidade desejada.