Prove que [n phi+12]+n=[phi[n phi+12]+12], onde phi=1+raiz52 e n in N.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade envolvendo pisos e a razão áurea
lfloor nphi+tfrac12rfloor + n ;=;lfloor philfloor nphi+tfrac12rfloor +tfrac12rfloor,
onde phi=(1+raiz5)/2 e nin N.
O que vamos usar:
  1. A relação quadrática phi^2=phi+1.
  2. A definição de piso e parte fracionária, escrevendo nphi=lfloor nphirfloor+F com Fin[0,1).
  3. A propriedade llfloor x+de<arrfloor=lfloor xrfloor sempre que de<ain(-x,1-x).

Passo 2

Defina
an = lfloor nphi+tfrac12rfloor
Escreva também
nphi = lfloor nphirfloor + F, F = nphiin[0,1)
Então an é o inteiro mais próximo de nphi, logo
varepsilon := an - nphi Longrightarrow varepsiloninl[-tfrac12,tfrac12r)
Agora use phi^2=phi+1 para manipular
phi,an + tfrac12 = phi,(nphi + varepsilon) + tfrac12 = nphi^2 + phivarepsilon + tfrac12 = n(phi+1) + phivarepsilon + tfrac12 = nphi + n + l(phivarepsilon + tfrac12r)
Defina
de<a := phivarepsilon + tfrac12
Como varepsilonin[-tfrac12,tfrac12) e phiapprox1,618, temos
phicdot(-tfrac12) + tfrac12 = tfrac1-phi2 approx -0,309, phicdottfrac12 + tfrac12 = tfracphi+12 approx1,309,
isto é
de<ainl(-0,309,;1,309r)
Portanto
phi,an + tfrac12 = nphi + n + de<a,
com de<ain(-0,309,1,309).

Passo 3

Usamos agora a propriedade do piso: para todo real x e todo de<ain(-x,1-x) vale
lfloor x+de<arfloor=lfloor xrfloor
Aqui tomamos x=nphi, de modo que x=F. Queremos aplicar isso a
x+de<a = nphi + de<a,
e sabemos que de<a<1,309<1+F porque F<1. Para a parte de baixo,
de<a>-0,309> -F sempre que F<0,309. Mas mesmo que F>=0,309, vemos que -F<=0 e de<a>0 em parte do intervalo; de todo modo a análise a seguir cobre ambos os subcasos de F.

Passo 4

Dividimos em dois subcasos segundo F=nphi.
  1. Se F<tfrac12, então an=lfloor nphirfloor, logo varepsilon=an-nphi=-Fin(-tfrac12,0]. Daí
    de<a=phivarepsilon+tfrac12= tfrac12-phi Finl(tfrac1-phi2,tfrac12r)subset(-F,1-F).
    Assim
    lfloor nphi + de<arfloor = lfloor nphirfloor = an,
    e portanto
    llfloor phi,an + tfrac12rrfloor = llfloor nphi + n + de<arrfloor = n + lfloor nphi + de<arfloor = n + an
  2. Se F>=tfrac12, então an=lfloor nphirfloor+1, logo varepsilon=an-nphi=1-Fin(0,tfrac12]. Daí
    de<a=phivarepsilon+tfrac12=phi(1-F)+tfrac12inl(tfrac12,tfracphi+12r)subset(F,1+F),
    e assim de novo
    lfloor nphi + de<arfloor = lfloor nphirfloor + 1 = an,
    o que implica
    llfloor phi,an + tfrac12rrfloor = n + lfloor nphi + de<arfloor = n + an
Em ambos os casos obtemos
llfloor phi,an + tfrac12rrfloor = n + an,
que é exatamente a identidade desejada.

Resposta

boxedlfloor nphi+tfrac12rfloor + n ;=;lfloor philfloor nphi+tfrac12rfloor +tfrac12rfloor

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