Prove as seguintes igualdades:
lim x 0 log (1+x)x=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto 0log(1+x)x=1
O conteúdo é cálculo de limites de indeterminação do tipo tfrac00. Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) aplicado à integral que define log(1+x).

Passo 2

Lembramos que, para t>-1,
log(1+x)=integral0^x11+t,dt
Para x>0, a função tmapsto11+t é decrescente em [0,x]. Logo, para todo tin[0,x],
11+x<= 11+t<= 1

Passo 3

Integramos essa desigualdade de t=0 até t=x>0:
integral0^x11+x,dt ;<=;integral0^x11+t,dt;<=;integral0^x1,dt
Isso dá
x1+x;<=;log(1+x);<=;x

Passo 4

Dividindo por x>0, obtemos
11+x;<=;log(1+x)x;<=;1
Quando xto0^+, o lado esquerdo tende a 1 e o lado direito é sempre 1. Pelo Teorema do Confronto,
limxto0^+log(1+x)x=1

Passo 5

Para -1<x<0, repetimos a ideia: em [x,0] a função tfrac11+t é crescente, então
1;<=;11+t;<=;11+x forall,tin[x,0]
Integrando de t=x a t=0 e lembrando que log(1+x)=integral0^x11+tdt=-integralx^011+tdt, chega-se a
1;<=;log(1+x)x;<=;11+x
Quando xto0^-, ambos os limites das bordas vão a 1, de modo que
limxto0^-log(1+x)x=1

Resposta

limxto 0log(1+x)x=1

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