Prove as seguintes igualdades:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
O conteúdo é cálculo de limites de indeterminação do tipo
. Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) aplicado à integral que define
.
Passo 2
Lembramos que, para
,
Para
, a função
é decrescente em
. Logo, para todo
,
Passo 3
Integramos essa desigualdade de
até
:
Isso dá
Passo 4
Dividindo por
, obtemos
Quando
, o lado esquerdo tende a
e o lado direito é sempre
. Pelo Teorema do Confronto,
Passo 5
Para
, repetimos a ideia: em
a função
é crescente, então
Integrando de
a
e lembrando que
, chega-se a
Quando
, ambos os limites das bordas vão a
, de modo que