(PUC/SP-00) Considere uma progressão geométrica crescente, cujo primeiro termo é diferente de zero, e uma progressão aritmética decrescente cujo primeiro termo é zero. Somando-se os termos correspondentes das duas progressões, obtémse a sequência ( 2,1,2, a_{4}, a_{5}, \ldots ). A diferença as - a 4 é igual a
a) 13
b) 15
c) 18
d) 20
e) 22

Solução: Alternativa A

Passo 1

O enunciado diz que há uma PG crescente, com primeiro termo diferente de zero, e uma PA decrescente, com primeiro termo zero. Denotamos:
A PG por \{G_n\} com
G_n = A\,q^{n-1},\quad A\neq0,\;q>1,
e a PA por \{B_n\} com
B_n = (n-1)\,d,\quad d<0,\;B_1=0.
A soma termo a termo forma a sequência \{S_n\}, cujos três primeiros termos são
S_1=2,\quad S_2=1,\quad S_3=2,
em que
S_n = G_n + B_n.

Passo 2

Usando S_1:
S_1 = G_1 + B_1 = A + 0 = 2 \quad\Longrightarrow\quad A = 2.

Passo 3

Escrevemos S_2 e S_3:
S_2 = G_2 + B_2 = A\,q + d = 1,
S_3 = G_3 + B_3 = A\,q^2 + 2d = 2.
Substituindo A=2 em S_3:
2q^2 + 2d = 2 \quad\Longrightarrow\quad q^2 + d = 1 \quad\Longrightarrow\quad d = 1 - q^2.

Passo 4

Substituindo d = 1 - q^2 em S_2:
2q + (1 - q^2) = 1 \quad\Longrightarrow\quad -q^2 + 2q = 0 \quad\Longrightarrow\quad q(2 - q) = 0.
Como a PG é crescente ( q>1), fica q=2. Então
d = 1 - 2^2 = -3.

Passo 5

Agora calculamos a_4 e a_5 em \{S_n\}:
a_4 = S_4 = 2\cdot2^3 + (-3)\cdot3 = 16 - 9 = 7,
a_5 = S_5 = 2\cdot2^4 + (-3)\cdot4 = 32 - 12 = 20.

Passo 6

A diferença pedida é
a_5 - a_4 = 20 - 7 = 13.

Resposta

13

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