(PUC-PR) As raízes da equação x^1-log x=0,01 estão contidas no intervalo:
a) [0,200]
b) [2,20]
c) [10,10 000]
d) [0,10]

Passo 1

O enunciado pede para achar as raízes da equação
x^1 - log x = 0,01
e verificar em qual dos intervalos dadas elas estão. O conteúdo usado será propriedades de logaritmo (base 10) e resolução de equação algébrica.

Passo 2

Observe que para x>0 podemos definir a variável
y = log x,
ou seja x = 10^y. Então o expoente 1 - log x fica 1 - y e
x^1 - log x = (10^y)^,1 - y = 10^,y(1 - y)

Passo 3

A equação original vira
10^,y(1 - y) = 0,01 = 10^-2,
logo igualamos os expoentes:
y(1 - y) = -2

Passo 4

Desenvolvendo:
y - y^2 = -2 Longrightarrow y^2 - y - 2 = 0
Essa é uma quadrática cuja fórmula de Bhaskara dá
y = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
isto é
y1 = 2, y2 = -1

Passo 5

Voltando a x = 10^y, obtemos as duas raízes
x1 = 10^,2 = 100, x2 = 10^-1 = 0,1

Passo 6

Agora basta ver em qual intervalo estão 0,1 e 100. Apenas o intervalo [0,200] contém ambos:
0,1,,100in [0,200]

Resposta

(a) [0,200]

Exercícios de Livros Relacionados