(PUC-MG-93) O teto de um túnel parabólico, com eixo de simetria vertical, tem altura máxima igual a 6 m e largura de base igual a 4 m . Calcule a altura do teto do túnel a 1 m do eixo de simetria.

Passo 1

O enunciado descreve um túnel cujo teto é dado por uma seção parabólica de altura máxima de 6 m no vértice e largura de base de 4 m. O eixo de simetria é vertical e queremos saber a altura do teto a 1 m do eixo. Para resolver, vamos:
  1. Escolher um sistema de coordenadas com o vértice da parábola em (0,6) e os extremos da base em (-2,0) e (2,0).
  2. Encontrar a forma geral da parábola y = ax^2 + 6.
  3. Determinar a usando as raízes em x=pm2.
  4. Calcular y em x=1.

Passo 2

A parábola tem forma
y = a x^2 + 6
e passa pelos pontos (2,0) e (-2,0). Usando (2,0):
0 = acdot2^2 + 6 Longrightarrow 4a + 6 = 0 Longrightarrow a = -tfrac64 = -tfrac32
Logo a equação do teto é
y = -tfrac32,x^2 + 6

Passo 3

Para x=1 (isto é, a 1 m do eixo),
y(1) = -tfrac32cdot1^2 + 6 = -tfrac32 + 6 = tfrac92 = 4,5

Resposta

A altura do teto a 1 m do eixo de simetria é de 4,5 m.

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