5.10.6
Para
,
Teste essa série para ver se ela é uma série assintótica.
Passo 1
O enunciado dá a função
e apresenta a “série”
Queremos testar se, ao truncar essa série após
termos, o resto é de ordem menor que o próximo termo, ou seja, se
o que caracteriza uma série assintótica em potências de
.
Passo 2
Definimos
e a soma parcial
Então o resto é
Para encontrá-lo, escrevemos
ou seja
Passo 3
Para
temos
, logo
Isso mostra que
isto é,
Passo 4
Como para todo
f(x)-sumn=0^N(-1)^n x^-(n+1) =Ol(x^-(N+2)r), o resto ao truncar a série satisfaz
concluímos que a expansão
é, de fato, uma série assintótica.
Resposta
Sim. A série é uma expansão assintótica de
quando
, pois o resto após
termos é
.