5.10.6 \&\quad Para x>1,
\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{x^{n+1}}
Teste essa série para ver se ela é uma série assintótica.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac1{1+x},\quad x>1,
e apresenta a “série”
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac1{x^{\,n+1}}.
Queremos testar se, ao truncar essa série após N termos, o resto é de ordem menor que o próximo termo, ou seja, se
f(x)-\sum_{n=0}^{N}(-1)^{n}x^{-(n+1)}=O\bigl(x^{-(N+2)}\bigr) \quad(x\to\infty),
o que caracteriza uma série assintótica em potências de 1/x.

Passo 2

Definimos
a_n = (-1)^n, \qquad \phi_n(x)=x^{-(n+1)},
e a soma parcial
S_N(x)=\sum_{n=0}^{N}a_n\,\phi_n(x) =\sum_{n=0}^{N}(-1)^n x^{-(n+1)}.
Então o resto é
R_N(x)=f(x)-S_N(x).
Para encontrá-lo, escrevemos
\frac1{1+x} =\frac1{x}\,\frac1{1+\tfrac1{x}} =\frac1{x}\Biggl(\sum_{n=0}^{N}(-1)^n x^{-n} +(-1)^{N+1}\frac{x^{-(N+1)}}{1+\tfrac1{x}}\Biggr),
ou seja
R_N(x) =\;(-1)^{N+1}\;\frac{x^{-(N+1)}}{1+x}.

Passo 3

Para x>1 temos 1+x>x, logo
\bigl\lvert R_N(x)\bigr\rvert =\frac{x^{-(N+1)}}{1+x} <\frac{x^{-(N+1)}}{x} =x^{-(N+2)} =\phi_{N+1}(x).
Isso mostra que
R_N(x)=O\bigl(\phi_{N+1}(x)\bigr) \quad(x\to\infty),
isto é,
f(x)-\sum_{n=0}^{N}a_n\,\phi_n(x) =O\bigl(\phi_{N+1}(x)\bigr).

Passo 4

Como para todo N o resto ao truncar a série satisfaz
f(x)-\sum_{n=0}^{N}(-1)^n x^{-(n+1)} =O\bigl(x^{-(N+2)}\bigr),
concluímos que a expansão
\frac1{1+x}\sim\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{-(n+1)} \quad(x\to\infty)
é, de fato, uma série assintótica.

Resposta

Sim. A série é uma expansão assintótica de \frac1{1+x} quando x\to\infty, pois o resto após N termos é O(x^{-(N+2)}).

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