5.10.6 & Para x>1,
11+x=sumn=0^infty(-1)^n 1x^n+1
Teste essa série para ver se ela é uma série assintótica.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=11+x, x>1,
e apresenta a “série”
sumn=0^infty(-1)^n1x^,n+1
Queremos testar se, ao truncar essa série após f(x)-sumn=0^N(-1)^nx^-(n+1)=Ol(x^-(N+2)r) (xtoinfty), termos, o resto é de ordem menor que o próximo termo, ou seja, se
o que caracteriza uma série assintótica em potências de .

Passo 2

Definimos
an = (-1)^n, phin(x)=x^-(n+1),
e a soma parcial
SN(x)=sumn=0^Nan,phin(x) =sumn=0^N(-1)^n x^-(n+1)
Então o resto é
RN(x)=f(x)-SN(x)
Para encontrá-lo, escrevemos
11+x =1x,11+tfrac1x =1xgl(sumn=0^N(-1)^n x^-n +(-1)^N+1x^-(N+1)1+tfrac1xgr),
ou seja
RN(x) =;(-1)^N+1;x^-(N+1)1+x

Passo 3

Para llvert RN(x)rrvert =x^-(N+1)1+x temos RN(x)=Ol(phiN+1(x)r) (xtoinfty), , logo
f(x)-sumn=0^Nan,phin(x) =Ol(phiN+1(x)r)
Isso mostra que
isto é,

Passo 4

Como para todo f(x)-sumn=0^N(-1)^n x^-(n+1) =Ol(x^-(N+2)r), o resto ao truncar a série satisfaz
11+xsimsumn=0^infty(-1)^n x^-(n+1) (xtoinfty)
concluímos que a expansão
é, de fato, uma série assintótica.

Resposta

Sim. A série é uma expansão assintótica de quando , pois o resto após termos é .

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