De quantas formas 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular?

Solução

Quando elementos são dispostos ao redor de um círculo; a cada disposição possível chamamos permutação circular. Além disso, duas permutações circulares são consideradas idênticas se, e somente se, quando percorremos a circunferência no sentido anti-horário a partir de um mesmo elemento das duas permutações, encontramos elementos que formam sequências iguais. Por exemplo, consideremos as permutações circulares:
  1. Tomando o elemento A, a sequência encontrada é ( A, C, D, B ).
  2. Tomando o elemento A, a sequência encontrada é (A, C, D, B).
Logo, as duas permutações circulares são iguais. A igualdade das duas permutações circulares acima poderia ser observada, tomando-se outro elemento diferente de A. Por exemplo, D. Em (1) encontraremos a sequência (D, B, A, C) e em (2) encontraremos a sequência (D, B, A, C). Para resolvermos o exercício proposto, chamemos de x o número de permutações circulares. Notemos que a cada permutação circular de A, B, C, D correspondem 4 permutações de A, B, C, D.
Por exemplo: as permutações circulares do exemplo correspondem às permutações:
(A, C, D, B)
(D, B, A, C)
(C, D, B, A)
(B, A, C, D)
Por outro lado, no conjunto das permutações, a cada quatro permutações corresponde uma única permutação circular. Por exemplo:
(A, B, D, C)
(D, C, A, B)
(B, D, C, A)
(C, A, B, D)
correspondem a permutação circular:
A cada conjunto de 4 permutações que definem uma determinada permutação circular chamamos de classe.
Como temos x permutações circulares, teremos x classes.
Observemos que a interseção de duas classes distintas é o conjunto vazio. Logo, o número de permutações de A, B, C, D pode ser calculado de dois modos:
19) P4=4 !
2?) existem x classes, cada qual com 4 permutações; logo, o total de permutações é 4 cdot x.
Portanto:
4 cdot x=4!Rightarrow x=4!4=3!=6
Observação:
Com raciocínio análogo ao anterior, podemos calcular o número de permutações circulares de n(n >= 2) elementos, da seguinte forma:
  1. existem n ! permutações dos n elementos;
  2. existem x permutações circulares em que a cada uma correspondem n permutações.
    Logo: n cdot x=n!Rightarrow x=n!n=(n-1)!
    que é o número de permutações circulares de n elementos.

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de dispor 4 pessoas em torno de uma mesa circular. Esse é um problema de permutação circular, em que todas as rotações de uma mesma disposição são consideradas idênticas.

Passo 2

Se as 4 pessoas fossem dispostas em assentos numerados (linha), teríamos todas as permutações lineares, cujo total é
4! = 24

Passo 3

Como em torno de uma mesa circular cada disposição linear gera 4 rotações idênticas, basta dividir por 4:
x = 4!4 = 244 = 6

Resposta

,6 formas.

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