Quantas e quais são as retas determinadas por pares de pontos
, dois a dois distintos, se:
a) A, B e C são colineares?
b) A, B, C e D não são coplanares?
a) A, B e C são colineares?
b) A, B, C e D não são coplanares?
Passo 1
O enunciado pede para contarmos e listarmos todas as retas determinadas por pares de pontos distintos. O conteúdo envolvido é:
- Cada dois pontos distintos determinam uma reta única.
- Se três pontos são colineares, as três retas formadas pelos pares coincidem.
- Se quatro pontos não são coplanares (e assumimos que nenhum triplo é colinear), então cada par dá uma reta distinta.
Passo 2
Em geral, o número de pares de
pontos é
Passo 3
a) Para
pontos
colineares temos
pares
, mas por colinearidade todas essas retas coincidem numa só reta. Logo, no caso (a) há apenas uma reta, dada por
Passo 4
b) Para
pontos
não coplanares (e sem três colineares) temos
pares, e cada par determina uma reta diferente. As retas são exatamente
Resposta
(a) Uma única reta:
.
(b) Seis retas: .
(b) Seis retas: