Quantas e quais são as retas determinadas por pares de pontos A, B, C in D, dois a dois distintos, se:
a) A, B e C são colineares?
b) A, B, C e D não são coplanares?

Passo 1

O enunciado pede para contarmos e listarmos todas as retas determinadas por pares de pontos distintos. O conteúdo envolvido é:
  1. Cada dois pontos distintos determinam uma reta única.
  2. Se três pontos são colineares, as três retas formadas pelos pares coincidem.
  3. Se quatro pontos não são coplanares (e assumimos que nenhum triplo é colinear), então cada par dá uma reta distinta.

Passo 2

Em geral, o número de pares de n pontos é
binomn2 = n(n-1)2

Passo 3

a) Para n=3 pontos A,B,C colineares temos binom32=3 pares (A,B),(A,C),(B,C), mas por colinearidade todas essas retas coincidem numa só reta. Logo, no caso (a) há apenas uma reta, dada por
AB = AC = BC

Passo 4

b) Para n=4 pontos A,B,C,D não coplanares (e sem três colineares) temos binom42=6 pares, e cada par determina uma reta diferente. As retas são exatamente
AB,;AC,;AD,;BC,;BD,;CD

Resposta

(a) Uma única reta: AB=AC=BC.
(b) Seis retas: AB,,AC,,AD,,BC,,BD,,CD.

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