(ESSA-81) A raiz quadrada de 8,25 \mathrm{com} erro menor que 0,01 é:
(A) 2
(B) 2,87
(C) 2,88
(D) 3

Passo 1

O enunciado pede calcular \sqrt{8,25} com erro menor que 0,01. Esse problema envolve métodos de aproximação numérica (por exemplo, expansão de Taylor de primeira ordem ou método de Newton). Vamos usar a expansão de Taylor para f(x)=\sqrt{x} em torno de x_0=9.

Passo 2

Expandindo de primeira ordem:
f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,(x-x_0).
Como f(9)=3 e
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\quad\Longrightarrow\quad f'(9)=\frac{1}{6},
temos para x=8,25:
\sqrt{8,25}\approx 3 + \frac{1}{6}\,(8,25-9) =3 - \frac{0,75}{6} =3 - 0,125 =2,875.

Passo 3

Verificamos que o erro é menor que 0,01 usando o resto de Lagrange de ordem 1:
R_1=\frac{f''\text{(c)}}{2}(x-x_0)^2,\quad c\in[8,25,\,9].
Como
f''(x)=-\frac{1}{4x^{3/2}} \quad\Longrightarrow\quad |f''\text{(c)}|\le \frac{1}{4\,(8,25)^{3/2}}\approx0,0105,
segue
|R_1|\le 0,0105\;\frac{(0,75)^2}{2}\approx0,003<0,01.
Portanto a aproximação 2,875 satisfaz o critério de erro.

Passo 4

Entre as opções dadas, o valor de duas casas decimais mais próximo de 2,875 é 2,88.

Resposta

(C) 2,88
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