Que relação deve haver entre os coeficientes a e b para que a função C(x, t)=e^{{a x 1 b t}} seja uma solução da equação de difusão
\frac{{\partial C}}{{\partial t}}=\alpha \frac{{\partial^{{2}} C}}{{\partial x^{{2}}}}

Passo 1

Temos a função de ensaio
C(x,t)=e^{a x + b t}
e queremos que ela satisfaça a equação de difusão unidimensional
\frac{\partial C}{\partial t} \;=\;\alpha\,\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}}.
Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais de C em relação a t e x e, em seguida, impor que a PDE seja válida.

Passo 2

Calculemos a derivada parcial de C em relação ao tempo t. Como C depende de t apenas pelo expoente b t, temos
\frac{\partial C}{\partial t} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(e^{a x + b t}\bigr) =b\,e^{a x + b t}.

Passo 3

Agora, calculemos a derivada segunda de C em relação a x. Primeiro a derivada primeira:
\frac{\partial C}{\partial x} =a\,e^{a x + b t}.
Derivando novamente em x:
\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(a\,e^{a x + b t}\bigr) =a^{2}\,e^{a x + b t}.

Passo 4

Substituímos as derivadas na equação de difusão:
\frac{\partial C}{\partial t} =b\,e^{a x + b t}, \qquad \alpha\,\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}} =\alpha\,a^{2}\,e^{a x + b t}.
Para que elas sejam iguais para todo (x,t), precisamos de
b\,e^{a x + b t} =\alpha\,a^{2}\,e^{a x + b t} \quad\Longrightarrow\quad b=\alpha\,a^{2}.

Resposta

A relação necessária é
b = \alpha \, a^{2}.

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