Um relatório de marketing sobre computadores particulares afirma que 650.000 proprietários comprarão um modem para suas máquinas no próximo ano e 1.250 .000 comprarão, pelo menos, um software. Se o relatório afirmar que
1.450.000 proprietários comprarão ou um modem ou, pelo menos, um software, quantos comprarão um modem e, pelo menos, um software?

Passo 1

O enunciado nos dá dois grupos de proprietários: aqueles que comprarão um modem e aqueles que comprarão pelo menos um software. Especificamente, temos \lvert M\rvert =650000 proprietários que comprarão um modem e \lvert S\rvert =1250000 que comprarão pelo menos um software. Além disso, o relatório afirma que haverá \lvert M\cup S\rvert =1450000 proprietários que comprarão ou um modem ou um software (ou ambos).
O conteúdo da matéria aqui é teoria de conjuntos, mais precisamente o princípio da inclusão-exclusão. Queremos encontrar \lvert M\cap S\rvert, ou seja, quantos comprarão ambos.

Passo 2

Pelo princípio da inclusão-exclusão em dois conjuntos, temos
\lvert M\cup S\rvert \;=\;\lvert M\rvert + \lvert S\rvert \;-\;\lvert M\cap S\rvert.

Passo 3

Isolando \lvert M\cap S\rvert na fórmula, obtemos
\lvert M\cap S\rvert =\lvert M\rvert + \lvert S\rvert - \lvert M\cup S\rvert =650000 + 1250000 - 1450000 =450000.

Resposta

450000 proprietários comprarão tanto um modem quanto, pelo menos, um software.

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