Resolva a equação: An, 4=12 cdot An, 2.

Solução

Observemos que a equação só tem solução para n >= 4.
Temos:
n(n-1)(n-2)(n-3)=12 cdot n cdot(n-1).
Como n(n-1) neq 0, resulta:
(n-2)(n-3)=12
n^2-5 n+6=12

o conjunto solução é {6}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
An,4 ;=; 12cdot An,2,
onde An,k é o número de arranjos simples de n elementos tomados k a k. Vamos usar a definição
An,k = n!(n-k)!
e resolver para n.

Passo 2

Pela definição de arranjo simples, temos
An,4 = n(n-1)(n-2)(n-3), An,2 = n(n-1)
Substituindo na equação dada, obtemos
n(n-1)(n-2)(n-3) = 12cdot n(n-1)

Passo 3

Como estamos buscando soluções com n>=4, temos n(n-1)neq 0 e podemos dividir ambos os lados por n(n-1):
(n-2)(n-3) = 12

Passo 4

Expandindo o produto e levando tudo para um lado, resulta
n^2 -5n +6 = 12 Longrightarrow n^2 -5n -6 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
De<a = (-5)^2 - 4cdot1cdot(-6) = 25 + 24 = 49,
portanto as raízes são
n = 5 pm raiz492 = 5 pm 72,
isto é, n = 6 ou n = -1.

Passo 5

Verificando a condição n>=4, a única solução válida é
n = 6

Resposta

O conjunto-solução é 6.

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