Resolva a equação raiz[3]2-x=1-raizx-1, para x real.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
raiz[3]2 - x ;=; 1 - raizx - 1
para x real. Aqui vamos usar conceitos de domínio de radicais, substituição para simplificar raízes quadradas e cúbicas e resolução de equações polinomiais.

Passo 2

Determinar o domínio da equação. Como aparece raizx-1, precisamos de
x - 1 >= 0 Longrightarrow x >= 1
Portanto só faz sentido procurar soluções com x>=1.

Passo 3

Para retirar a raiz quadrada, fazemos a substituição
t = raizx - 1,
logo t>=0 e
x = t^2 + 1
Além disso
2 - x = 2 - (t^2 + 1) = 1 - t^2,
de modo que a equação vira
raiz[3],1 - t^2, ;=; 1 - t

Passo 4

Elevamos ambos os lados ao cubo. Como a função ymapsto y^3 é injetora sobre R, não introduzimos soluções extras. Temos
1 - t^2 = (1 - t)^3

Passo 5

Expandindo o cubo e reorganizando termos:
1 - t^2 = 1 - 3t + 3t^2 - t^3 Longrightarrow 0 = -3t + 3t^2 - t^3 + t^2 Longrightarrow 0 = -3t + 4t^2 - t^3
Multiplicando por -1 e colocando em ordem decrescente:
t^3 - 4t^2 + 3t = 0 Longrightarrow t,(t^2 - 4t + 3) = 0 Longrightarrow t,(t-1),(t-3) = 0
Assim t=0, t=1 ou t=3, todas compatíveis com t>=0.

Passo 6

Voltando à variável x por x = t^2 + 1:
  • Se t=0, então x = 0^2 + 1 = 1.
  • Se t=1, então x = 1^2 + 1 = 2.
  • Se t=3, então x = 3^2 + 1 = 10.
Cada um desses valores satisfaz x>=1 e, se testarmos na equação original, conferimos que de fato raiz[3]2-x = 1 - raizx-1 em todos os casos.

Resposta

x = 1,,2,,10

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