Resolva as equações, em R :
x^2-x+3=5 raizx^2-x-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação que envolve uma raiz quadrada. O conteúdo principal é lidar com domínio da raiz e depois eliminar a raiz, normalmente por substituição ou quadratura. Vamos primeiro encontrar onde a expressão dentro da raiz está definida, e então reescrever a equação de forma mais simples.

Passo 2

Impondo o domínio da raiz, precisamos ter
x^2 - x - 3 >= 0
Essa inequação se resolve encontrando as raízes de x^2 - x - 3 = 0, que são
x = 1 pm raiz132
Portanto o domínio é
x <= 1 - raiz132 ou x >= 1 + raiz132

Passo 3

Definimos
t = raizx^2 - x - 3, t >= 0
A equação original
x^2 - x + 3 = 5raizx^2 - x - 3
fica, em termos de t,
x^2 - x + 3 = 5t e t^2 = x^2 - x - 3
Subtraindo a segunda da primeira,
(x^2 - x + 3) - (x^2 - x - 3) = 5t - t^2 Longrightarrow 6 = 5t - t^2 Longrightarrow t^2 - 5t + 6 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação em t,
t^2 - 5t + 6 = 0 Longrightarrow t = 2 ou t = 3,
ambos admissíveis pois t>=0.

Passo 5

Para cada valor de t voltamos à relação t^2 = x^2 - x - 3:
  1. Se t=3, então
x^2 - x - 3 = 9 Longrightarrow x^2 - x - 12 = 0 Longrightarrow x = 1 pm raiz1 + 482 = 1 pm 72,
isto é, x=4 ou x=-3.
  1. Se t=2, então
x^2 - x - 3 = 4 Longrightarrow x^2 - x - 7 = 0 Longrightarrow x = 1 pm raiz1 + 282 = 1 pm raiz292

Passo 6

Verificamos se cada solução está no domínio x <= tfrac1 - raiz132 ou x >= tfrac1 + raiz132:
  • x=4 satisfaz 4 >= tfrac1 + raiz132.
  • x=-3 satisfaz -3 <= tfrac1 - raiz132.
  • x=tfrac1 + raiz292approx3,19 também é >=tfrac1 + raiz132.
  • x=tfrac1 - raiz292approx-2,19 também é <=tfrac1 - raiz132.
Logo, todas as quatro raízes obtidas são válidas.

Resposta

x in l-3,;4,;1 - raiz292,;1 + raiz292r

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