Resolva as equaçōes:
|x^2-4 x|=|x-6|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação com valores absolutos
l|x^2-4xr| = l|x-6r|
O conteúdo envolve manipular valor absoluto e resolver equações polinomiais em cada caso de sinal.

Passo 2

Identificamos as raízes das expressões internas para definir os intervalos onde mudam de sinal:
  • x^2-4x = x(x-4) zera em x=0 e x=4.
  • x-6 zera em x=6.
    Logo, particionamos R em quatro intervalos:
    (- infty,0), [0,4), [4,6) e [6,infty).

Passo 3

Intervalo x<0:
Aqui x^2-4x>0 (pois x<0 faz x^2 e -4x positivos) e x-6<0.
A equação vira
x^2-4x = -(x-6)
x^2-4x = -x + 6
x^2-3x -6 = 0
As raízes são
x = 3 pm raiz9+242 = 3 pm raiz332
Dessas, apenas
x = 3 - raiz332
cai em (-infty,0).

Passo 4

Intervalo 0 <= x < 4:
Aqui x^2-4x <= 0 e x-6<0.
A equação vira
-(x^2-4x) = -(x-6)
-x^2+4x = -x + 6
-x^2+5x -6 = 0
x^2-5x+6 = 0
(x-2)(x-3)=0
Logo x=2 ou x=3, ambos em [0,4).

Passo 5

Intervalo 4 <= x < 6:
Aqui x^2-4x >= 0 e x-6<0.
A equação é a mesma do Passo 3:
x^2-4x = -(x-6)
que leva a
x = 3 pm raiz332
Dessas, apenas
x = 3 + raiz332
está em [4,6).

Passo 6

Intervalo x >= 6:
Aqui x^2-4x >= 0 e x-6>= 0.
A equação vira
x^2-4x = x-6
x^2-5x+6=0
(x-2)(x-3)=0
As soluções seriam 2 ou 3, mas nenhuma está em [6,infty). Logo não há raízes neste intervalo.

Passo 7

Reunindo todas as soluções válidas temos
x in l3-raiz332,,2,,3,,3+raiz332r

Resposta

x = 3-raiz332,;2,;3,;3+raiz332

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