Resolva os sistemas:
x-5x+3 <= x-8x-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x-5x+3 <= x-8x-3
O conteúdo é inequação de funções racionais. Vamos excluir valores que anulem denominador, passar tudo para um só lado, combinar frações e analisar o sinal do quociente resultante.

Passo 2

Levar todos os termos para o mesmo membro e escrever sob um único denominador:
x-5x+3 - x-8x-3 <= 0
O denominador comum é (x+3)(x-3).

Passo 3

Calcular o numerador combinado:
(x-5)(x-3);-;(x-8)(x+3)
Expandindo e simplificando,
x^2-8x+15 ;-;(x^2-5x-24) ;=;-3x+39
Então a inequação vira
-3x+39(x+3)(x-3) <= 0
Fatorando -3x+39=-3(x-13) e dividindo ambos os lados por -3 (inverte o sinal da desigualdade), obtemos
x-13(x+3)(x-3) >= 0

Passo 4

Identificar os pontos críticos, onde o numerador ou o denominador são zero:
bul<=t Numerador zero em x=13.
bul<=t Denominador zero em x=-3 e x=3.
Esses valores particionam a reta em quatro intervalos: (-infty,-3), (-3,3), (3,13) e (13,infty).

Passo 5

Analisar o sinal de x-13(x+3)(x-3) em cada região:
(-infty,-3): numerador negativo, denominador positivo to expressão negativa.
(-3,3): numerador negativo, denominador negativo to expressão positiva.
(3,13): numerador negativo, denominador positivo to expressão negativa.
(13,infty): numerador positivo, denominador positivo to expressão positiva.
Queremos >=0, ou seja, regiões de sinal positivo ou zero. Excluímos x=-3 e x=3 (denominador nulo) e incluímos x=13 (numerador zero).

Resposta

(-3,3);cup;[13,infty)

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