Resolva, em R, as equações:
raizx+1-1=raizx-raizx+8

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
raizx+1-1 = raizx - raizx+8
O conteúdo aqui é resolução de equações irracionais com radicais: vamos determinar o domínio de existência, isolar raízes e aplicar sucessivas quadraturas.

Passo 2

Impondo existência dos radicandos e não negatividade do lado esquerdo (para poder quadrar sem mudar o sinal) temos:
  1. x+1>=0 implies x>=-1.
  2. x - raizx+8>=0 impliesraizx+8<= x. Como raizx+8>=0, isso exige x>=0.
  3. Para raizx+1-1>=0 precisa raizx+1>=1 implies x+1>=1 implies x>=0.
    Logo o domínio final é
x>=0

Passo 3

No domínio x>=0 podemos quadrar ambos os lados:
(raizx+1-1)^2 ;=; x - raizx+8
Expandindo o lado esquerdo e simplificando com x do lado direito, obtemos
x+2 -2raizx+1 ;=; x - raizx+8 ;;longrightarrow;; 2 -2raizx+1 = -raizx+8 ;;longrightarrow;; raizx+8 = 2l(raizx+1-1r)

Passo 4

Isolamos o radical e quadramos de novo:
x+8 = 4l(raizx+1-1r)^2 =4l(x+1 -2raizx+1+1r) =4x+8 -8raizx+1
Simplificando, vem
x+8 =4x+8 -8raizx+1 longrightarrow -3x = -8raizx+1 longrightarrow raizx+1 = 3x8

Passo 5

Mais uma quadratura leva a
x+1 = 9x^264 Longrightarrow 9x^2 -64x -64 =0
O discriminante é
De<a = (-64)^2 -4cdot9cdot(-64) =4096+2304 =6400,
x = 64pm8018 Longrightarrow x = 8 ou x = -tfrac89

Passo 6

Como o domínio exige x>=0, rejeitamos -8/9 e ficamos com x=8. Por fim, conferimos na equação original:
raiz8+1-1 =3-1=2, raiz8-raiz16 = raiz8-4=2,
logo x=8 satisfaz.

Resposta

x = 8

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